C 指数与对数

📋 模块概览

对应考纲 Section 1: MM5.1, MM5.2, MM5.3 对应 Paper: P1 重点（约 15/320 题），P2 涉及（逻辑推理型指数对数题） 建议课时: 1 课时 | 目标题量: 10-15 题

C1 指数函数与图像 [MM5.1]

C1.1 指数函数的定义

指数函数的形式为 $y = a^x$，其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$。

⚠️ 为什么要求 $a \neq 1$？ 当 $a = 1$ 时，$y = 1^x = 1$ 是常数函数，没有指数增长或衰减的特性。

C1.2 指数函数的图像特征

共同特征：

• 必过点 $(0, 1)$（因为 $a^0 = 1$）
• 恒在 $x$ 轴上方（$y > 0$）
• 无零点、无对称性

C1.3 指数法则回顾 [MM1.1]

⚡ 常用特例：$a^{x} \cdot a^{-x} = 1$，即 $a^{-x} = \frac{1}{a^x}$。

C2 对数运算法则 [MM5.2]

C2.1 对数的定义

若 $a^b = c$（$a > 0$, $a \neq 1$, $c > 0$），则 $b = \log_a c$。

本质理解：对数是指数的逆运算，$\log_a c$ 回答的问题是「$a$ 的多少次幂等于 $c$？」

C2.2 对数基本性质

C2.3 对数运算法则

特例：

⚠️ 常见错误：

• $\log_a(x + y) \neq \log_a x + \log_a y$
• $\log_a(xy) \neq (\log_a x)(\log_a y)$
• 对数只对乘法、除法、幂运算有简化作用，对加减法无效

C2.4 换底公式（考试不要求，但了解有助于理解）

⚡ 常用形式：$\log_2 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2}$。

C3 指数与对数方程求解 [MM5.3]

C3.1 指数方程求解策略

核心思想：通过换元将指数方程转化为熟悉的代数方程。

典型模式：

• $a^{2x} + b a^x + c = 0$ → 设 $u = a^x$，化为 $u^2 + bu + c = 0$
• $a^x = b$ → $x = \log_a b$
• $a^x = a^y$ → $x = y$（底数相同时指数相等）

C3.2 对数方程求解策略

核心思想：利用对数运算法则化为简单形式，再取指数还原。

典型步骤：

1. 利用运算法则合并/拆分对数项
2. 化为 $\log_a A = \log_a B$ 的形式
3. 去对数得 $A = B$
4. 检验定义域：对数要求真数 $> 0$

⚠️ 易错警示：去对数后必须检验真数是否为正，排除增根。

C3.3 对数不等式的陷阱

当对数底数 $a > 1$ 时，函数递增，不等号方向不变： $\log_a x > \log_a y \iff x > y$

当对数底数 $0 < a < 1$ 时，函数递减，不等号反转： $\log_a x > \log_a y \iff x < y$

⚡ 速解技巧汇总

⚠️ 易错警示

• ❌ $\log(x+y) \neq \log x + \log y$ — 对数不能拆解加法
• ❌ $\log(xy) \neq (\log x)(\log y)$ — 对数乘积不是对数的乘积
• ❌ 指数方程换元后，$u = a^x$ 必须 $> 0$，排除负根
• ❌ 底数 $< 1$ 的对数不等式，不等号必须反转
• ❌ $a^{x+y} = a^x \cdot a^y$，不是 $(a^x)^y$（后者等于 $a^{xy}$）

📝 精选例题

例题 1（2016 P1 Q11 · 指数方程求解）

题目：方程 $4^{2x} + 12 = 2^{2x+3}$ 的两个实根为 $p$ 和 $q$（$p > q$），求 $p - q$ 的值。

题目分析 本题考查指数方程的换元求解。核心在于识别底数关系 $4 = 2^2$，将方程转化为同一底数的指数形式，再通过换元化为二次方程。

解题步骤 第一步：统一底数

第二步：设 $u = 2^{2x}$（$u > 0$），方程化为：

第三步：解二次方程

得 $u = 6$ 或 $u = 2$（均为正，符合要求）。

第四步：还原求 $x$

当 $u = 6$ 时：$2^{2x} = 6$，即 $2x = \log_2 6$，故 $x = \frac{1}{2}\log_2 6$。

当 $u = 2$ 时：$2^{2x} = 2$，即 $2x = 1$，故 $x = \frac{1}{2}$。

第五步：计算 $p - q$

利用换底公式 $\log_2 3 = \frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 2}$ 及 $2\log_{10} 2 = \log_{10} 4$：

快捷思路 换元 $u = 2^{2x}$ 后二次方程两根为 6 和 2。两 $x$ 值之差为 $\frac{1}{2}\log_2\frac{6}{2} = \frac{1}{2}\log_2 3$。选项均为 $\log_{10}$ 形式，利用换底公式一步匹配。

正确答案E（$\frac{\log_{10} 3}{\log_{10} 4}$）

知识点Algebra（指数方程） | 考纲: MM5.3

例题 2（2017 P1 Q14 · 指数方程组）

题目：解方程组 $\begin{cases} 2^x + 3 \times 2^y = 3 \\ 2^{2x} - 9 \times 2^{2y} = 6 \end{cases}$，设解为 $x = p$, $y = q$，求 $p - q$。

题目分析 本题考查含指数变量的方程组求解。关键在于识别第二个方程可以利用平方差公式化简，避免复杂的代入消元。

解题步骤 第一步：设 $u = 2^x$, $v = 2^y$（$u > 0$, $v > 0$）

方程组化为： $u + 3v = 3$ $u^2 - 9v^2 = 6$

第二步：第二个方程利用平方差公式

将第一式 $u + 3v = 3$ 代入：

第三步：解简化后的方程组

相加得 $2u = 5$，故 $u = \frac{5}{2}$。

相减得 $6v = 1$，故 $v = \frac{1}{6}$。

第四步：还原求 $x$ 和 $y$

第五步：计算 $p - q$

快捷思路 关键在于识别 $u^2 - 9v^2 = (u+3v)(u-3v)$，利用第一个方程直接得到 $u-3v$，无需展开代入。两步即可解出 $u$ 和 $v$，最后用对数法则合并。

正确答案F（$\log_2 15$）

知识点Algebra（指数方程组） | 考纲: MM5.3

例题 3（2017 P1 Q18 · 对数函数图像变换）

题目：将 $y = \log_{10} x$ 的图像向上平移 2 个单位，这一平移等价于沿 $x$ 轴方向拉伸因子 $k$。求 $k$ 的值。

题目分析 本题考查对数函数的特殊性质：上下平移可以等价于水平伸缩。这是因为 $\log x + c = \log(10^c \cdot x)$。

解题步骤 第一步：写出平移后的函数

向上平移 2 个单位：$y = \log_{10} x + 2$

第二步：利用对数法则化简

第三步：比较拉伸变换

沿 $x$ 轴拉伸因子 $k$ 后，函数变为 $y = f\left(\frac{x}{k}\right)$：

第四步：令两式恒等

比较常数项：$-\log_{10} k = 2$，即 $\log_{10} k = -2$。

因此 $k = 10^{-2} = 0.01$。

快捷思路 取特殊点验证：原函数过 $(1, 0)$，平移后变为 $(1, 2)$。同时原图像上点 $(0.01, -2)$ 平移到 $(0.01, 0)$。沿 $x$ 轴拉伸将 $x$-截距从 1 变为 $k$，故 $k = 0.01$。

正确答案A（$0.01$）

知识点Functions（对数函数图像） | 考纲: MM5.1, MM8.2

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

完整解析见题库数据库，每题均含解题步骤与快捷思路。

制作时间: 2026-04-29 数据来源: TMUA 题库数据库（2016-2022） 适用对象: TMUA 备考学生