D 数学逻辑基础

📋 模块概览

对应考纲 Section 2: Arg1, Arg2, Arg3, Arg4, Prf1, Prf2, Err1, Err2 对应 Paper: P2 重点（19/320 题，全部来自 Paper 2） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 15-20 题

D1 基本逻辑概念 [Arg1]

D1.1 命题与真值

命题（Statement）：能够判断真假的陈述句。

例如：

• 『三角形内角和为 $180°$』— 真命题
• 『所有质数都是奇数』— 假命题（$2$ 是偶质数）
• 『$x > 3$』— 不是命题（含变量，无法判断真假）

⚠️ 注意：命题必须是陈述句，疑问句、感叹句、含变量的开语句都不是命题。

D1.2 四种命题形式

给定原命题『若 $P$ 则 $Q$』，可以衍生出四种形式：

核心定理：原命题与逆否命题逻辑等价，即： $\text{『若 }P\text{ 则 }Q\text{』} \iff \text{『若非 }Q\text{ 则非 }P\text{』}$

理解方式：『下雨则地湿』等价于『地不湿则没下雨』，这是日常逻辑中最自然的推理。

⚠️ 易错点：

• 逆命题和否命题的真假与原命题无关
• 『所有奇数都是质数』是假命题，其逆命题『所有质数都是奇数』也是假命题（$2$），但它们没有必然联系
• 原命题『若 $x > 2$ 则 $x^2 > 4$』为真，其逆命题『若 $x^2 > 4$ 则 $x > 2$』为假（$x = -3$ 时成立）

D1.3 逻辑连接词

⚡ 包含或的含义：『$P$ 或 $Q$』包括『$P$ 且 $Q$』的情况。例如『今天是周六或周日』包括『既是周六又是周日』（虽然不可能，但逻辑上允许）。

D1.4 量词

⚠️ TMUA 不考符号：考纲明确说明『考生不需识别或使用符号记号』，但需理解『对于所有』『存在』等措辞的逻辑含义。

D2 充分必要条件 [Arg2]

D2.1 定义与判定

直观理解：

• 『下雨』是『地湿』的充分条件：下雨 ⇒ 地湿
• 『地湿』是『下雨』的必要条件：若没下雨，地未必不湿（可能泼水了）
• 『下雨且无遮挡』是『地湿』的充要条件（在特定情境下）

D2.2 判定技巧

⚡ 速判口诀：

• 有 $P$ 必有 $Q$ → $P$ 是 $Q$ 的充分条件
• 无 $P$ 可能无 $Q$ → $P$ 是 $Q$ 的必要条件（逆否命题：有 $Q$ 必有 $P$）

例：『$x > 2$』是『$x^2 > 4$』的什么条件？

• 检验：$x > 2$ ⇒ $x^2 > 4$ ✓（充分）
• 反例：$x = -3$ 时 $x^2 > 4$ 但 $x \ngtr 2$ ✗（不必要）
• 结论：充分但不必要

例：『$a = b$』是『$a^2 = b^2$』的什么条件？

• 检验：$a = b$ ⇒ $a^2 = b^2$ ✓（充分）
• 反例：$a = 2, b = -2$ 时 $a^2 = b^2$ 但 $a \neq b$ ✗（不必要）
• 结论：充分但不必要

D2.3 常见等价表述

D3 反例构造与否定 [Arg4, Prf1]

D3.1 反例的作用

反例（Counterexample）：满足命题前提但使结论不成立的实例，用于否定全称命题。

逻辑依据：

• 全称命题『所有 $x$ 都满足性质 $A$』的否定是『存在某个 $x$ 不满足 $A$』
• 一个反例即可推翻全称命题（一例否全称）

⚠️ 特例不证真：『$2$ 是偶质数』不能证明『所有质数都是偶数』。存在性命题需构造证明，全称命题需反例否定。

D3.2 反例构造技巧

步骤：

1. 明确命题形式：『若 $P$ 则 $Q$』或『所有满足 $P$ 的对象都满足 $Q$』
2. 找一个满足 $P$ 但不满足 $Q$ 的实例
3. 验证实例确实满足前提且结论不成立

例：否定『若 $x^2 > 4$ 则 $x > 2$』

• 前提：$x^2 > 4$
• 结论：$x > 2$
• 反例：$x = -3$ 时 $(-3)^2 = 9 > 4$ ✓，但 $-3 \ngtr 2$ ✗
• 结论：原命题假

例：否定『所有大于 $3$ 的质数都是奇数』

• 前提：大于 $3$ 的质数
• 结论：是奇数
• 反例：不存在！（所有大于 $3$ 的质数确实都是奇数）
• 结论：原命题真，无法否定

D3.3 常见否定形式

德摩根律（De Morgan’s Laws）： $\neg(P \land Q) = \neg P \lor \neg Q$ $\neg(P \lor Q) = \neg P \land \neg Q$

理解：『既不高也不矮』的否定是『高或矮』。

D3.4 多层量词否定

规则：否定时，量词逐层翻转（$\forall \to \exists$, $\exists \to \forall$），内部命题取反。

例：否定『对于所有正整数 $N$，存在正整数 $K$，使得对所有正整数 $m$，$N(Km+1)-1$ 不是质数』

结构：$\forall N \; \exists K \; \forall m \; \neg\text{质数}(N(Km+1)-1)$

否定：$\exists N \; \forall K \; \exists m \; \text{质数}(N(Km+1)-1)$

即：『存在某个正整数 $N$，对于所有正整数 $K$，都存在某个正整数 $m$，使得 $N(Km+1)-1$ 是质数』

🎯 典型题型与解题策略

题型 A：唯一真命题推理

特点：多个命题中恰有一个为真，需推理找出。

策略：

1. 列出各命题对应条件的集合
2. 检验不同情况下的真值
3. 找唯一无矛盾的情形

例（2016 P2 Q4）：五个瓮各有一条陈述，恰一条为真，找哪个瓮。

• 各瓮陈述对应的球数集合：$P:\{1,4\}$, $Q:\{2,4\}$, $R:\{3,4\}$, $S:\{1,2\}$, $T:\{1,2\}$
• 当 $n=1$：$P$ 和 $S$ 同时真 ✗
• 当 $n=2$：$Q$, $S$, $T$ 同时真 ✗
• 当 $n=3$：仅 $R$ 真 ✓
• 当 $n=4$：$P$ 和 $Q$ 同时真 ✗
• 答案：Urn $R$

题型 B：反例构造

特点：找出满足前提但结论不成立的实例。

策略：

1. 明确前提与结论
2. 从简单值开始枚举（$0, 1, -1, 2$ 等）
3. 验证前件真、后件假

例（2016 P2 Q5）：命题『$6k \pm 1$ 形式的数都是质数』

• 检验 $0 < n < 50$ 中的 $6k \pm 1$ 形式数：$1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49$
• 非质数：$1$（定义上不是质数）、$25=5^2$、$35=5\times 7$、$49=7^2$
• 反例数：$4$ 个

题型 C：量词否定

特点：将含『所有』『存在』的命题改写为否定形式。

策略：

1. 标记量词层次（$\forall \to \exists$, $\exists \to \forall$）
2. 内部命题取反
3. 用自然语言表达

例（2018 P2 Q12）：否定『对所有 $N$ 存在 $K$ 使对所有 $m$，$N(Km+1)-1$ 不是质数』

• 三层量词：$\forall \exists \forall$
• 否定后：$\exists \forall \exists$
• 『存在某个 $N$，对所有 $K$，存在某个 $m$，使 $N(Km+1)-1$ 是质数』

⚡ 速解技巧汇总

⚠️ 易错警示

• ❌ 『所有质数都是奇数』的否定不是『所有质数都是偶数』，而是『存在某个质数不是奇数』（即存在偶质数）
• ❌ 反例必须满足前件真、后件假，单满足前件不算反例
• ❌ 逆命题和否命题的真假与原命题无关，只有逆否命题同真假
• ❌ 『$P$ 仅当 $Q$』意味着 $P \Rightarrow Q$，『仅当』引出必要条件
• ❌ 存在性命题（『存在 $x$ 满足 $A$』）不能用一个例子否定，需要证明『所有 $x$ 都不满足 $A$』

📝 精选例题

例题 1（2016 P2 Q4 · 逻辑推理）

题目：五个密封的瓮 $P, Q, R, S, T$ 各装有相同数量的球（非零）。每个瓮有一条陈述，恰有一条陈述为真。找出哪条陈述为真。

• Urn P: 有 1 或 4 个球
• Urn Q: 有 2 或 4 个球
• Urn R: 有多于 2 个少于 5 个球
• Urn S: 有 1 或 2 个球
• Urn T: 有少于 3 个球

题目分析 本题考查逻辑推理中的唯一真命题判定。五个瓮装有相同数量 $n$ 个球，需找出唯一使某条陈述为真而其余为假的 $n$ 值。

解题步骤 第一步：将各陈述转化为 $n$ 的取值集合。

• $P$: $n \in \{1, 4\}$
• $Q$: $n \in \{2, 4\}$
• $R$: $n \in \{3, 4\}$（多于 2 少于 5）
• $S$: $n \in \{1, 2\}$
• $T$: $n \in \{1, 2\}$（少于 3）

第二步：逐一检验各 $n$ 值的真命题数。

• $n = 1$: $P$ 真、$S$ 真、$T$ 真 → 3 条真 ✗
• $n = 2$: $Q$ 真、$S$ 真、$T$ 真 → 3 条真 ✗
• $n = 3$: 仅 $R$ 真 ✓
• $n = 4$: $P$ 真、$Q$ 真、$R$ 真 → 3 条真 ✗

第三步：唯一无矛盾情形为 $n = 3$，此时仅 Urn $R$ 的陈述为真。

快捷思路 观察各集合的交集关系：$S$ 和 $T$ 集合相同，故它们不能同时为唯一真命题。$P, Q, R$ 都含 $4$，故 $n = 4$ 时三者同时真。排除 $n = 1, 2, 4$ 后，唯一可能为 $n = 3$，验证 $R$ 为真其余为假。

正确答案C（Urn R）

知识点Logic | 考纲: Arg1, Arg2

例题 2（2016 P2 Q5 · 反例构造）

题目：命题『若整数 $n$ 比 6 的倍数少 1 或少 5（即 $n = 6k \pm 1$），则 $n$ 是质数』。求在 $0 < n < 50$ 范围内的反例个数。

题目分析 本题考查反例构造。命题形式为全称命题『所有 $6k \pm 1$ 形式的数都是质数』，反例即满足形式但非质数的数。

解题步骤 第一步：列出 $0 < n < 50$ 中的 $6k \pm 1$ 形式数。 $1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49$ 共 17 个数。

第二步：判断每个数是否为质数。

• $1$: 定义上不是质数 ✓ 反例
• $25 = 5 \times 5$: 合数 ✓ 反例
• $35 = 5 \times 7$: 合数 ✓ 反例
• $49 = 7 \times 7$: 合数 ✓ 反例

第三步：其余 13 个数均为质数，故反例共 $4$ 个。

快捷思路 $6k \pm 1$ 形式数中，合数必由 $6m \pm 1$ 形式的因子构成（因为 $2, 3$ 不是该形式）。在 $< 50$ 范围内，平方数 $25 = 5^2$、$49 = 7^2$（$5, 7$ 都是 $6k \pm 1$ 形式），以及 $35 = 5 \times 7$ 都在该形式内。加上 $1$，共 $4$ 个反例。

正确答案C（4 个）

知识点Counterexamples | 考纲: Arg4, Prf1

例题 3（2018 P2 Q12 · 量词否定）

题目：命题『对所有正整数 $N$，存在正整数 $K$，使得对所有正整数 $m$，$N(Km+1)-1$ 不是质数』。找出其否定形式。

题目分析 本题考查多层量词的否定。原命题含三层量词 $\forall \exists \forall$，否定时需逐层翻转并内部取反。

解题步骤 第一步：分析原命题结构。 $\forall N \in \mathbb{Z}^+ \; \exists K \in \mathbb{Z}^+ \; \forall m \in \mathbb{Z}^+ \; \neg\text{Prime}(N(Km+1)-1)$

第二步：逐层否定。

• $\forall N \to \exists N$
• $\exists K \to \forall K$
• $\forall m \to \exists m$
• 『不是质数』否定为『是质数』

第三步：组合成否定命题。 $\exists N \in \mathbb{Z}^+ \; \forall K \in \mathbb{Z}^+ \; \exists m \in \mathbb{Z}^+ \; \text{Prime}(N(Km+1)-1)$

用自然语言表达： 『存在某个正整数 $N$，使得对所有正整数 $K$，都存在某个正整数 $m$，使得 $N(Km+1)-1$ 是质数』

快捷思路 量词否定口诀：『所有』变『存在』，『存在』变『所有』，内部命题取反。三层量词依次翻转即可。

正确答案F（对应选项为『存在 $N$ 对所有 $K$ 存在 $m$ 使其为质数』）

知识点Logic | 考纲: Arg3, Arg4

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

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📚 考纲映射详表

讲义特点：

• ✅ 考纲全覆盖（Arg1-Arg4, Prf1, Prf2, Err1, Err2）
• ✅ 19道真题精选（Logic 8题 + Counterexamples 11题）
• ✅ 三道详解例题（逻辑推理、反例构造、量词否定三大题型）
• ✅ 易错警示明确（量词否定、反例验证、命题等价）
• ✅ 速解技巧表格化（便于记忆与应用）

讲义完成日期：2026-04-29