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📋 模块概览

对应考纲 Section 1: MM6.1, MM6.2, MM6.3 对应 Paper: P1 重点（24/320 题），P2 涉及（单调性证明、极值判断） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 15-20 题

小节	内容	对应考纲	历年真题频率	课时
H1	导数与切线/法线	MM6.1, MM6.3	8 年 8 次	0.5
H2	幂函数求导	MM6.2	8 年 6 次	0.5
H3	驻点与最值	MM6.3	8 年 5 次	0.5
H4	单调性判断	MM6.3	8 年 5 次	0.5

H1 导数与切线/法线 [MM6.1, MM6.3]

H1.1 导数的几何意义

导数 $f'(x)$ 是曲线 $y = f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处切线的斜率。

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

理解导数的几何意义：

$f'(x) > 0$ ：切线斜率为正，曲线在该点向右上方倾斜
$f'(x) < 0$ ：切线斜率为负，曲线在该点向右下方倾斜
$f'(x) = 0$ ：切线水平，该点可能是极值点
导数不存在：切线垂直（如 $y = \sqrt{x}$ 在 $x = 0$ ）或函数不光滑

⚠️ 注意：TMUA 不考”从第一性原理求导”（differentiation from first principles），只需掌握幂函数求导公式及其应用。

H1.2 切线与法线方程

切线方程：过点 $(x_0, y_0)$ ，斜率为 $f'(x_0)$

y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)

法线方程：法线是切线的垂直线，斜率为负倒数

m_{\text{法线}} = -\frac{1}{f'(x_0)}

特殊情况：

若 $f'(x_0) = 0$ （切线水平），法线垂直（斜率不存在）
若切线垂直，法线水平（斜率为 0）

H1.3 切线/法线与坐标轴交点

设切线/法线方程为 $y = mx + c$ 或 $y - y_0 = m(x - x_0)$ ：

$x$ -截距：令 $y = 0$ ，解 $x$
$y$ -截距：令 $x = 0$ ，解 $y$

两点 $P(a, 0)$ 和 $Q(0, b)$ 之间的距离：

PQ = \sqrt{a^2 + b^2}

H2 幂函数求导 [MM6.2]

H2.1 基本公式

幂函数 $x^n$ 的导数公式：

\frac{d}{dx} x^n = nx^{n-1}

适用范围： $n$ 为任意实数（正整数、负数、分数均可）。

常用特例：

$\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$
$\frac{d}{dx} x^{-2} = -2x^{-3}$
$\frac{d}{dx} x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$
$\frac{d}{dx} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}x^{-\frac{5}{2}}$

H2.2 求导法则

和差法则（线性性）：

\frac{d}{dx} [af(x) + bg(x)] = af'(x) + bg'(x)

乘积法则：

\frac{d}{dx} [f(x) \cdot g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

⚠️ TMUA 常见策略：遇到含根式的分式函数，先展开再求导，避免使用商法则。

例如： $\frac{(x^2 + 5)(2x)}{\sqrt[4]{x^3}} = \frac{2x^3 + 10x}{x^{\frac{3}{4}}} = 2x^{\frac{9}{4}} + 10x^{\frac{1}{4}}$

再逐项求导： $f'(x) = \frac{9}{2}x^{\frac{5}{4}} + \frac{5}{2}x^{-\frac{3}{4}}$

H2.3 二阶导数

f''(x) = \frac{d}{dx} f'(x) = \frac{d^2y}{dx^2}

几何意义：

$f''(x) > 0$ ：曲线在该点向上弯曲（凹向上）
$f''(x) < 0$ ：曲线在该点向下弯曲（凹向下）
驻点判据：若 $f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0) < 0$ ，则 $x_0$ 是极大值点

H3 驻点与最值 [MM6.3]

H3.1 驻点（Stationary Points）

驻点是导数为零的点： $f'(x_0) = 0$ 。

驻点类型判定：

条件	类型
$f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0) > 0$	极小值（minimum）
$f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0) < 0$	极大值（maximum）
$f'(x_0) = 0$ 且 $f''(x_0) = 0$	需进一步判断（可能是拐点）

⚠️ TMUA 说明：考纲指出拐点（points of inflexion）不会单独考查，但学生需理解简单多项式曲线的拐点概念。

H3.2 最值问题

全局最值：函数在整个定义域内的最大/最小值。

局部最值：函数在某区间内的最大/最小值。

解题策略：

找出所有驻点（ $f'(x) = 0$ ）
计算驻点处的函数值
检查边界点（若定义域有限）
比较所有候选值，选出最大/最小

H3.3 含参数的最值

当函数含参数 $a$ 时，最值可能随 $a$ 变化。解题思路：

求导，得到含 $a$ 的驻点条件
代入 $x$ 的特定值，得到最值关于 $a$ 的函数
对 $a$ 再求极值（二次函数最值问题）

H4 单调性判断 [MM6.3]

H4.1 递增与递减

严格递增： $f'(x) > 0$ 对所有 $x$ 在区间内成立

严格递减： $f'(x) < 0$ 对所有 $x$ 在区间内成立

⚠️ 等号陷阱：考纲强调”strictly”（严格），即不等号不带等号。

H4.2 单调区间的划分

通过分析 $f'(x)$ 的符号变化划分单调区间：

解方程 $f'(x) = 0$ ，得驻点
在驻点划分的各区间内取测试点
判断 $f'(x)$ 的符号

H4.3 利用单调性判断零点个数

设 $f(x)$ 连续且在某区间内单调：

若 $f(a) < 0$ 且 $f(b) > 0$ （单调递增），则存在唯一零点
若 $f(a) > 0$ 且 $f(b) < 0$ （单调递减），则存在唯一零点

介值定理应用：结合端点趋势分析，可判断五次方程等复杂函数的实根个数。

⚡ 速解技巧汇总

场景	技巧
含根式分式求导	先展开再求导，避免商法则
法线斜率	取负倒数， $m \to -\frac{1}{m}$
驻点判别	二阶导数法： $f''(x_0) > 0$ 极小， $f''(x_0) < 0$ 极大
单调区间	找驻点后画导数符号表格
最值问题	驻点值 + 边界值比较
含参数最值	对参数再求二次函数最值
切线到坐标轴距离	$x$ -截距与 $y$ -截距构成直角三角形斜边

⚠️ 易错警示

❌ 求导前不化简，导致计算复杂且易错 — 应先展开为幂函数和
❌ 法线斜率写成 $-f'(x_0)$ ，忘记取倒数 — 正确是 $-\frac{1}{f'(x_0)}$
❌ 切线水平时仍写法线斜率为 $-\frac{1}{0}$ — 此时法线垂直，斜率不存在
❌ 二阶导数符号搞反 — $f'' > 0$ 对应极小值（碗向上）
❌ 单调区间端点写成 $x \leq a$ — 严格单调不带等号
❌ 驻点个数判断漏掉判别式分析 — 需检查 $f'(x) = 0$ 是否有实根
❌ 幂函数负指数求导时符号搞错 — 如 $x^{-2}$ 导数是 $-2x^{-3}$ ，两处负号

📝 精选例题

例题 1（2016 P1 Q3 · 法线与坐标轴）

题目：曲线 $y = \frac{2}{x^2}$ 在 $x = 1$ 处的法线与 $x$ 轴交于 $P$ ，与 $y$ 轴交于 $Q$ 。求 $PQ$ 的长度。

题目分析本题考查导数的几何意义与法线方程。先求曲线在指定点的导数（切线斜率），取负倒数得法线斜率，写出法线方程后求其与两坐标轴的交点，最后用距离公式计算 $PQ$ 。

解题步骤第一步：求切点坐标

当 $x = 1$ 时， $y = \dfrac{2}{1^2} = 2$ ，切点为 $(1, 2)$ 。

第二步：求导数与切线斜率

y = 2x^{-2} \quad \Rightarrow \quad \frac{dy}{dx} = -4x^{-3} = -\frac{4}{x^3}

在 $x = 1$ 处，切线斜率为 $y'(1) = -4$ 。

第三步：求法线斜率与法线方程

法线斜率为切线斜率的负倒数：

m_{\text{法线}} = -\frac{1}{-4} = \frac{1}{4}

法线过点 $(1, 2)$ ，方程为：

y - 2 = \frac{1}{4}(x - 1)

第四步：求与坐标轴交点

与 $x$ 轴交点 $P$ ：令 $y = 0$ ，得 $-2 = \dfrac{1}{4}(x-1)$ ，解得 $x = -7$ ，即 $P(-7, 0)$ 。

与 $y$ 轴交点 $Q$ ：令 $x = 0$ ，得 $y - 2 = -\dfrac{1}{4}$ ，解得 $y = \dfrac{7}{4}$ ，即 $Q\!\left(0, \dfrac{7}{4}\right)$ 。

第五步：计算 $PQ$ 长度

PQ = \sqrt{(-7)^2 + \left(\frac{7}{4}\right)^2} = \sqrt{49 + \frac{49}{16}} = \sqrt{\frac{833}{16}}

注意到 $833 = 49 \times 17$ ，因此：

PQ = \frac{\sqrt{49 \times 17}}{4} = \frac{7\sqrt{17}}{4}

快捷思路法线斜率 $m = \dfrac{1}{4}$ ， $x$ 截距绝对值为 $7$ 。由斜率与 $x$ 截距可直接写出斜边 $PQ = 7 \times \dfrac{\sqrt{1^2+4^2}}{4} = \dfrac{7\sqrt{17}}{4}$ ，省去单独求 $Q$ 点坐标的步骤。

正确答案C（ $\dfrac{7\sqrt{17}}{4}$ ）

知识点Differentiation, Coordinate Geometry | 考纲: MM6.1, MM6.3

例题 2（2016 P1 Q12 · 内接圆柱最值）

题目：半径为 5 cm 的球体内接一个圆柱，圆柱的整个端面圆周都与球接触。求圆柱的最大体积。

题目分析本题考查内接几何体的体积最优化问题。圆柱内接于球体，利用截面中的勾股定理建立变量关系，将体积表示为单变量函数后用导数求最大值。

解题步骤第一步：建立几何关系

设球半径 $R = 5$ 。取过球心的截面，设圆柱底面半径为 $r$ ，圆柱高的一半为 $h$ （即球心到圆柱底面的距离）。

由勾股定理：

h^2 + r^2 = 5^2 = 25

即 $r^2 = 25 - h^2$ 。

圆柱的总高度为 $2h$ ，体积为：

V = \pi r^2 (2h) = \pi(25 - h^2)(2h) = 2\pi(25h - h^3)

第二步：求导找极值点

\frac{dV}{dh} = 2\pi(25 - 3h^2)

令导数为零：

25 - 3h^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad h^2 = \frac{25}{3} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{5}{\sqrt{3}}

验证极大值： $\frac{d^2V}{dh^2} = -12\pi h < 0$ （当 $h > 0$ 时），确为极大值。

第三步：计算最大体积

r^2 = 25 - \frac{25}{3} = \frac{50}{3}

圆柱高度 $2h = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$ 。

最大体积：

V_{\max} = \pi \cdot \frac{50}{3} \cdot \frac{10\sqrt{3}}{3} = \frac{500\sqrt{3}}{9}\pi

快捷思路内接圆柱最大体积的经典结论：最优时球心到端面的距离 $h = \frac{R}{\sqrt{3}}$ 。代入 $R = 5$ 得 $h = \frac{5}{\sqrt{3}}$ ， $r^2 = \frac{2}{3}R^2 = \frac{50}{3}$ ，体积为 $\frac{500\sqrt{3}}{9}\pi$ 。

正确答案E（ $\dfrac{500\sqrt{3}}{9}\pi$ ）

知识点Differentiation, Coordinate Geometry | 考纲: MM6.2, MM6.3

例题 3（2016 P1 Q13 · 实根个数判定）

题目：方程 $3x^5 - 10x^3 - 120x + 30 = 0$ 有几个实根？

题目分析考查利用导数研究多项式函数单调性与实根个数。对五次方程 $3x^5-10x^3-120x+30=0$ ，求导找临界点，用介值定理逐区间判断零点个数。

解题步骤设 $f(x)=3x^5-10x^3-120x+30$ ，求导：

f'(x)=15x^4-30x^2-120=15(x^2-4)(x^2+2)

$x^2+2>0$ 恒成立，导数零点为 $x=\pm 2$ 。

导数符号分析：

$x < -2$ ： $f' > 0$ （递增）
$-2 < x < 2$ ： $f' < 0$ （递减）
$x > 2$ ： $f' > 0$ （递增）

计算极值（只需判正负）：

f(-2)=-96+80+240+30>0, \quad f(2)=96-80-240+30<0

结合端点趋势：

$x \to -\infty$ 时 $f \to -\infty$
$x \to +\infty$ 时 $f \to +\infty$

由介值定理逐区间判断：

$(-\infty, -2)$ ：从 $-\infty$ 递增到正值 $f(-2) > 0$ → 1 个根
$(-2, 2)$ ：从正值 $f(-2)$ 递减到负值 $f(2) < 0$ → 1 个根
$(2, +\infty)$ ：从负值 $f(2)$ 递增到 $+\infty$ → 1 个根

共 3 个实根。

快捷思路导数零点 $\pm 2$ 划分三个单调区间。左端趋向 $-\infty$ ，右端趋向 $+\infty$ ，中间极值 $f(-2) > 0$ 、 $f(2) < 0$ ，三段各有一根。

正确答案C（3 个）

知识点Differentiation, Graphs, Algebra | 考纲: MM6.3

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

#	题号	考点	对应考纲	难度
1	2016 P1 Q15	含参数最值	MM6.2, MM6.3	⭐⭐⭐
2	2016 P1 Q18	单调性判断	MM6.3	⭐⭐⭐
3	2016 P2 Q2	幂函数求导	MM6.2	⭐⭐
4	2017 P1 Q2	二阶导数	MM6.1	⭐⭐
5	2017 P1 Q10	法线斜率最值	MM6.1, MM6.3	⭐⭐⭐⭐
6	2017 P1 Q16	两函数单调性	MM6.3	⭐⭐⭐
7	2018 P1 Q11	法线与抛物线	MM6.1, MM6.3	⭐⭐⭐
8	2018 P1 Q13	导数图像分析	MM6.1, MM6.3	⭐⭐⭐

完整解析见题库数据库，每题均含解题步骤与快捷思路。

📌 考纲速查

MM6.1 导数的定义与理解

导数作为切线斜率
导数作为变化率
二阶导数
符号： $\frac{dy}{dx}$ , $\frac{d^2y}{dx^2}$ , $f'(x)$ , $f''(x)$

MM6.2 幂函数求导

$x^n$ 的导数（ $n$ 为任意实数）
和差的导数
需先简化再求导：如 $\frac{(3x+2)^2}{x^{\frac{1}{2}}}$

MM6.3 应用

切线与法线方程
驻点（极大值、极小值）
严格递增（ $f' > 0$ ）
严格递减（ $f' < 0$ ）
拐点不单独考查

本讲义依据 TMUA 2016-2023 真题编写，所有例题均来自真实考试。

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