I 积分

📋 模块概览

对应考纲 Section 1: MM7.1, MM7.2, MM7.3, MM7.4, MM7.5, MM7.6 对应 Paper: P1 重点（27/320 题），P2 涉及（逻辑推理型积分题） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 15-20 题

I1 定积分与面积 [MM7.1, MM7.4]

I1.1 定积分的几何意义

定积分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 表示曲线 $y = f(x)$ 与 $x$ 轴之间区域的有向面积：

• 当 $f(x) > 0$ 时，积分值为正（面积在 $x$ 轴上方）
• 当 $f(x) < 0$ 时，积分值为负（面积在 $x$ 轴下方）

⚠️ 面积与积分的区别： 求面积时，若曲线在 $x$ 轴下方，需要取绝对值： $\text{Area} = \int_a^b |f(x)|\,dx$

这与直接计算 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ 可能不同！

I1.2 曲线间面积

两条曲线 $y = f(x)$（上曲线）与 $y = g(x)$（下曲线）围成的面积：

关键步骤：

1. 求交点（解方程 $f(x) = g(x)$），确定积分区间 $[a, b]$
2. 判断哪条曲线在上方（在区间内选取测试点）
3. 上曲线减下曲线，积分

I1.3 积分的合并 [MM7.4]

同区间合并： $\int_a^b f(x)\,dx + \int_a^b g(x)\,dx = \int_a^b [f(x) + g(x)]\,dx$

相邻区间合并： $\int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx$

反向积分： $\int_b^a f(x)\,dx = -\int_a^b f(x)\,dx$

⚡ 应用技巧：题目中若给出 $\displaystyle\int_0^q f(x)\,dx$ 和 $\displaystyle\int_p^r f(x)\,dx$，可利用合并性质求其他区间的积分值，无需重复计算。

I2 幂函数积分 [MM7.2, MM7.3]

I2.1 基本积分公式

幂函数积分（$n \neq -1$）： $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$

⚠️ 注意：

• 当 $n = -1$ 时，$\displaystyle\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$（TMUA 不涉及）
• 负指数积分后符号变化：$\displaystyle\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C$

I2.2 积分前先化简

很多题目需要先展开再积分：

例：$\displaystyle\int (x + 2)^2\,dx$ 先展开：$(x + 2)^2 = x^2 + 4x + 4$ 再积分：$\displaystyle\int (x^2 + 4x + 4)\,dx = \frac{x^3}{3} + 2x^2 + 4x + C$

例：$\displaystyle\int \frac{(3x - 5)^2}{x^{1/2}}\,dx$ 先展开分子：$(3x - 5)^2 = 9x^2 - 30x + 25$ 除以 $x^{1/2}$：$9x^{3/2} - 30x^{1/2} + 25x^{-1/2}$ 再积分：$9 \cdot \frac{x^{5/2}}{5/2} - 30 \cdot \frac{x^{3/2}}{3/2} + 25 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2}$ $= \frac{18}{5}x^{5/2} - 20x^{3/2} + 50x^{1/2} + C$

I2.3 微积分基本定理 [MM7.3]

第一形式： $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ 其中 $F'(x) = f(x)$，即 $F$ 是 $f$ 的原函数。

第二形式： $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$

应用场景：

• 若已知 $\displaystyle\int_0^x f(t)\,dt$ 的表达式，对 $x$ 求导可得 $f(x)$
• 原函数与导数互逆关系，用于综合题（如 2022 P1 Q3）

I3 梯形法则与微分方程 [MM7.5, MM7.6]

I3.1 梯形法则

用 $n$ 个等宽梯形近似积分 $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$：

其中 $h = \frac{b - a}{n}$，$y_i = f(x_i)$。

高估与低估判断：

• 曲线向上凸（如 $\sin^2 x$ 在上升段）→ 梯形法则高估
• 曲线向下凸（如 $\cos^2 x$ 在上升段）→ 梯形法则低估

⚡ 快速判断口诀：曲线弯向哪里，梯形面积就偏大。

I3.2 微分方程求解 [MM7.6]

形式 $\displaystyle\frac{dy}{dx} = f(x)$ 的微分方程：

解题步骤：

1. 两边积分：$y = \int f(x)\,dx + C$
2. 利用初始条件（如 $x = 1$ 时 $y = 5$）确定 $C$
3. 写出 $y$ 的完整表达式

⚠️ 易错点：

• 被积函数中的分式项，先写成幂的形式再积分
• 积分后常数项 $C$ 不要漏掉
• 代入初始条件前，先化简表达式

三种典型题型与解题策略

题型 A：积分计算（化简 + 逐项积分）

识别特征：被积函数含括号、分式，需要先展开

解题策略：

1. 展开括号或拆分分式
2. 转化为幂的形式 $x^n$
3. 逐项积分，合并结果

例题特征：

• $\displaystyle\int (x^2 - \frac{4}{x^2})^2\,dx$（2016 P2 Q1）
• $\displaystyle\int \frac{3 - 2x}{x\sqrt{x}}\,dx$（2018 P1 Q1）

题型 B：面积问题（求交点 + 上减下）

识别特征：求曲线与轴或两条曲线围成的面积

解题策略：

1. 求交点确定积分区间
2. 判断上/下曲线（或判断曲线在轴上方/下方）
3. 上减下积分，注意取绝对值

例题特征：

• $y = x^2 - 1$ 与 $x$ 轴围成面积（2016 P1 Q5）
• $y = p\sqrt{x}$ 与 $x = p\sqrt{y}$ 围成面积（2019 P1 Q9）

题型 C：梯形法则误差分析

识别特征：判断梯形近似是高估还是低估

解题策略：

1. 分析曲线凹凸性（向上凸还是向下凸）
2. 利用对称性（偶函数反射不改变误差方向）
3. 利用互补关系（$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$）

⚡ 速解技巧汇总

⚠️ 易错警示

• ❌ 积分公式是 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$，不是 $nx^{n-1}$（那是导数公式）
• ❌ $\displaystyle\int x^{-2}\,dx = -x^{-1} + C$，不是 $x^{-1} + C$（负指数符号变化）
• ❌ 求面积时直接积分，忘记取绝对值（当曲线在轴下方）
• ❌ 微分方程求解时，漏掉积分常数 $C$
• ❌ 梯形法则公式中，中间项系数是 2，首尾项系数是 1

📝 精选例题

例题 1（2017 P1 Q1 · 微分方程求解）

题目：已知

且 $x = 1$ 时 $y = 5$，求 $y$ 关于 $x$ 的表达式。

题目分析 本题考点为积分求原函数。已知导数表达式，需要对各项分别积分，再利用初始条件确定积分常数。

解题步骤 第一步：化简被积函数。将分式项写成幂的形式： $\frac{dy}{dx} = 3x^2 - \frac{2-3x}{x^3} = 3x^2 - \frac{2}{x^3} + \frac{3x}{x^3} = 3x^2 - 2x^{-3} + 3x^{-2}$

第二步：逐项积分。利用幂函数积分公式： $y = \int (3x^2 - 2x^{-3} + 3x^{-2})\,dx = x^3 + x^{-2} - 3x^{-1} + C$

第三步：代入初始条件。当 $x = 1$ 时 $y = 5$： $5 = 1^3 + 1^{-2} - 3 \cdot 1^{-1} + C = 1 + 1 - 3 + C = -1 + C$ 解得 $C = 6$。

因此 $y = x^3 + x^{-2} - 3x^{-1} + 6$。

快捷思路 逐项积分后代入 $x = 1$ 即可求出常数项。注意 $(2-3x)/x^3$ 的符号拆分容易出错，写成幂的形式再积分更稳妥。

正确答案C

知识点Integration | 考纲: MM7.2, MM7.6

例题 2（2019 P1 Q9 · 曲线间面积）

题目：$p$ 为正常数。求曲线 $y = p\sqrt{x}$ 和 $x = p\sqrt{y}$ 围成的面积。

题目分析 两条曲线互为反函数形式，图形关于 $y = x$ 对称。求交点确定积分区间后，用上曲线减下曲线积分。

解题步骤 第一步：写出两条曲线的显式形式。 由 $y = p\sqrt{x}$ 得 $y^2 = p^2 x$，即 $x = \frac{y^2}{p^2}$。 由 $x = p\sqrt{y}$ 得 $x^2 = p^2 y$，即 $y = \frac{x^2}{p^2}$。

第二步：求交点。 代入得 $\frac{y^2}{p^2} = p\sqrt{y}$，即 $y^4 = p^6 y$。 $y(y^3 - p^6) = 0$，解得 $y = 0$ 或 $y = p^2$。

当 $y = p^2$ 时：$x = p\sqrt{p^2} = p^2$。 交点为 $(0, 0)$ 和 $(p^2, p^2)$。

第三步：积分求面积。 在区间 $[0, p^2]$ 上，$y = p\sqrt{x}$ 在上，$y = \frac{x^2}{p^2}$ 在下。

快捷思路 两条曲线互为反函数，交点在 $y = x$ 上。直接代 $y = x$ 求 $x^2 = p^2 x$ 得 $x = p^2$（舍去 $x = 0$）。利用对称性，面积 = $\displaystyle\int_0^{p^2}(p\sqrt{x} - \frac{x^2}{p^2})\,dx$。

正确答案D（$\frac{p^4}{3}$）

知识点Integration | 考纲: MM7.1

例题 3（2019 P2 Q13 · 梯形法则误差分析）

题目：学生用 4 个小区间的梯形法则近似 $\displaystyle\int_a^b \sin^2 x\,dx$，结果为高估。

判断以下命题哪些必然成立：

• I 若用同样方法近似 $\displaystyle\int_{-b}^{-a} \sin^2 x\,dx$，结果仍为高估。
• II 若用同样方法近似 $\displaystyle\int_a^b \cos^2 x\,dx$，结果为低估。

题目分析 考查梯形法则的误差分析与函数对称性。利用偶函数对称性和 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 的互补关系。

解题步骤 命题 I：$\sin^2 x$ 是偶函数，图像关于 $y$ 轴对称。 原区间 $[a, b]$ 上的梯形沿 $y$ 轴反射，恰好得到 $[-b, -a]$ 上的梯形。图形完全对称，误差方向不变。命题 I 成立。

命题 II：利用 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$，$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$。 $\cos^2 x$ 的图像是 $\sin^2 x$ 关于 $y = \frac{1}{2}$ 翻折。 梯形面积之和等于矩形面积（高为 1），这是精确值。 $\sin^2 x$ 梯形近似高估 $\Rightarrow$ $\cos^2 x$ 梯形近似低估。命题 II 成立。

快捷思路 偶函数反射不改变误差（命题 I）；互补关系 $\sin^2 + \cos^2 = 1$：一个高估则另一个低估（命题 II）。

正确答案D（I 和 II 都成立）

知识点Integration | 考纲: MM7.5

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

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讲义版本: v1.0 | 生成时间: 2026-04-29