J 逻辑与反例

📋 模块概览

对应考纲 Section 2: MR1.1-MR1.8（Arg1-Arg4, Prf1, Err1） 对应 Paper: P2 核心（逻辑推理与证明） 建议课时: 2 课时 | 目标题量: 23 题

J1 命题逻辑基础 [Arg1]

J1.1 命题与逻辑联结词

命题：能够判断真假的陈述句。

TMUA 考纲涉及的逻辑联结词：

⚠️ 注意：TMUA 的 or 是包含性或（inclusive or），即 $A$ 或 $B$ 或两者都成立。

J1.2 条件命题的真假关系

考纲明确要求的四种条件命题形式：

⚡ 关键记忆：

• A only if B 等价于 if A then B（A 成立 → B 必成立）
• A if B 等价于 if B then A（B 成立 → A 必成立）
• if and only if 要求双向成立，即等价

J1.3 逆命题、否命题、逆否命题

给定原命题 $A \Rightarrow B$：

推导逆否命题等价性（理解而非记忆）：

原命题 if A then B 为真，意味着 A 成立时 B 必成立。若 B 不成立，则 A 必不成立（否则会推出 B 成立），即 if not B then not A。

⚠️ 易错点：学生常混淆 not A implies not B（否命题）与 not B implies not A（逆否命题）。记住：逆否命题要反转 A 和 B 的位置。

J1.4 全称命题与存在命题 [Arg3, Arg4]

否定规则：

⚡ 快速记忆：否定时，for all 变 there exists，there exists 变 for all，结论取反。

J2 充分必要条件 [Arg2]

J2.1 充分条件与必要条件

定义：

• A 是 B 的充分条件：A 成立 ⇒ B 成立（$A \Rightarrow B$）
• A 是 B 的必要条件：B 成立 ⇒ A 成立（$B \Rightarrow A$），即 A 不成立则 B 必不成立
• A 是 B 的充要条件：A ⇔ B，双向成立

形象理解：

• 充分条件：有 A 就够了（充分保证 B）
• 必要条件：没 A 就不行（B 必须依赖 A）

J2.2 判断充分性与必要性

判断步骤：

1. 明确命题方向：条件 ⇒ 结论
2. 验证正向：条件成立时结论是否必成立？
3. 验证反向：结论成立时条件是否必成立？

⚡ 快速判断技巧：

J2.3 常见陷阱

⚠️ 典型错误：

• 混淆 if A then B 与 A if B
• 认为 A sufficient for B 等价于 A necessary for B
• 忽略隐含条件（如定义域、前提假设）

例子： 命题：If $x^2 = 4$, then $x = 2$.

• $x^2 = 4$ 是 $x = 2$ 的必要条件吗？否。$x = -2$ 也满足 $x^2 = 4$。
• $x^2 = 4$ 是 $x = 2$ 的充分条件吗？否。$x = -2$ 也满足 $x^2 = 4$。
• $x = 2$ 是 $x^2 = 4$ 的充分条件吗？是。$x = 2$ ⇒ $x^2 = 4$。

J3 反例构造 [Prf1, Err1]

J3.1 什么是反例

反例：满足命题假设但不满足结论的实例。

作用：一个反例足以推翻一个全称命题。

适用场景：

• 原命题形式：for all x, P(x) 或 if A then B
• 需要证明命题不成立时，构造反例即可

J3.2 反例构造策略

策略一：边界值法 取定义域边界或特殊值（如 $x = 0, 1, -1$）。

策略二：极端值法 取使条件取极端值的数（如极大、极小、无穷）。

策略三：分段验证法 对分段定义的命题，在各段内分别找反例。

策略四：奇偶性检验法 涉及整数命题时，检验奇偶性差异。

⚡ TMUA 常见反例类型：

J3.3 识别证明中的错误 [Err1, Err2]

TMUA 要求识别伪证明中的逻辑错误。

常见错误类型：

⚡ 速解技巧汇总

⚠️ 易错警示

• ❌ A only if B 等价于 if A then B，不是 A if B
• ❌ A if B 等价于 if B then A，不是 if A then B
• ❌ 逆命题与原命题真假无关，逆否命题才等价
• ❌ 反例推翻的是全称命题，存在命题需要证明无反例
• ❌ $\sin A = \sin B$ 不推出 $A = B$（还有 $A + B = 180°$）
• ❌ $ab = ac$ 不推出 $b = c$（当 $a = 0$ 时）

📝 精选例题

例题 1（2016 P2 Q4 · 逻辑推理）

题目：五个密封瓮 P, Q, R, S, T 各装有相同数量 $n$ 的球（$n > 0$）。各瓮附有陈述如下：

• P：装有 1 或 4 个球
• Q：装有 2 或 4 个球
• R：装有超过 2 个且少于 5 个球
• S：装有 1 或 2 个球
• T：装有少于 3 个球

恰好一个瓮的陈述为真。找出是哪个瓮。

题目分析 本题考查逻辑推理。五个瓮装有相同数量 $n$，每个陈述对应 $n$ 的取值集合。恰有一条为真意味着其余四条必须为假。关键观察各陈述集合的重叠关系。

解题步骤 第一步：将各陈述转化为取值集合。

第二步：逐值验证，找出仅使一条陈述为真的 $n$。

• $n = 1$：P 真，S 真，T 真（三真，矛盾）
• $n = 2$：Q 真，S 真，T 真（三真，矛盾）
• $n = 3$：R 真，其余全假（P 假：$3 \notin \{1,4\}$；Q 假：$3 \notin \{2,4\}$；S 假：$3 \notin \{1,2\}$；T 假：$3 \ge 3$）
• $n = 4$：P 真，Q 真，R 真（三真，矛盾）

第三步：仅 $n = 3$ 时恰有一条陈述（R 的陈述）为真。

快捷思路 注意到 S 和 T 的集合 $\{1, 2\}$ 相同，故若 $n = 1$ 或 $n = 2$，两者同真。排除。再排除 $n = 4$（P、Q、R 同真）。唯有 $n = 3$。

正确答案C（Urn R）

知识点Logic | 考纲: Arg1

例题 2（2016 P2 Q5 · 反例计数）

题目：命题：若整数 $n$ 比 6 的倍数少 1 或少 5（即 $n \equiv 1$ 或 $5 \pmod{6}$），则 $n$ 是质数。在 $0 < n < 50$ 范围内有多少个反例？

题目分析 命题形式为全称命题：所有形如 $6k \pm 1$ 的整数都是质数。反例即满足 $n \equiv 1$ 或 $5 \pmod{6}$ 但不是质数的数。

解题步骤 第一步：列出 $0 < n < 50$ 中形如 $6k \pm 1$ 的数。

这些数为：$1, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 25, 29, 31, 35, 37, 41, 43, 47, 49$

第二步：判断哪些不是质数。

• $n = 1$：不是质数（定义规定 1 不是质数）
• $n = 25 = 5 \times 5$：合数
• $n = 35 = 5 \times 7$：合数
• $n = 49 = 7 \times 7$：合数

第三步：统计反例数。共 4 个反例。

快捷思路 形如 $6k \pm 1$ 包含所有大于 3 的质数，但并非所有这类数都是质数。只需找该范围内的合数形式：$25, 35, 49$，加上 $1$，共 4 个。注意 1 既不是质数也不是合数，但作为反例有效（满足条件但不是质数）。

正确答案C（4 个）

知识点Counterexamples | 考纲: Prf1

例题 3（2017 P2 Q16 · 函数反例）

题目：命题：若 $f(x)$ 对所有整数 $x$ 取整数值，则 $f'(x)$ 对所有整数 $x$ 也取整数值。找出反例。

题目分析 命题形式：整数上取整值的函数 ⇒ 导数在整数上取整值。需找函数使前件真（整数输入得整数输出）但后件假（整数输入的导数非整数）。

解题步骤 检验选项中的函数：

• $f(x) = x^2/2$：$f(0) = 0$（整数），$f(1) = 1/2$（非整数）→ 前件假，不是反例
• $f(x) = x^3/3$：$f(0) = 0$，$f(1) = 1/3$（非整数）→ 前件假
• $f(x) = (x^2 + x)/2 = x(x+1)/2$：对任意整数 $x$，$x$ 和 $x+1$ 一奇一偶，乘积必偶，故 $f(x)$ 恒为整数。前件真。$f'(x) = (2x+1)/2$：当 $x$ 为整数时，$2x+1$ 为奇数，$f'(x)$ 不是整数。后件假。此为反例。

快捷思路 关键观察 $x(x+1)/2$：相邻两整数必一奇一偶，乘积偶，除以 2 得整数。但导数 $(2x+1)/2$ 恒为奇数半值，非整数。一正一负，反例成立。

正确答案C

知识点Counterexamples | 考纲: Prf1, Err1

🏋️ 课后练习（限时 15 分钟）

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📚 考纲映射表

模块 H 讲义完成。2026-04-29