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FP2 Further Pure 2

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内容稍后补充。

1不等式Inequalities

代数解法Algebraic solutions

记住：不等式两边同时乘以一个负数时，不等号必须反向：  2x > 3 ⇒ −2x < −3.

真正的麻烦出在两边同乘的式子里含未知数的时候，例如 (x − 2)：它有时为正（x > 2）、有时为负（x < 2）、有时为零（x = 2）。这种情况下我们把两边同乘 (x − 2)2，它恒为正（只要 x ≠ 2）。

Example 1:Solve the inequality  2x + 3 < x2x − 2,    x ≠ 2

Solution:Multiply both sides by (x − 2)2we can do this since (x − 2) ≠ 0

⇒(2x + 3)(x − 2)2 < x2(x − 2) ⇒(2x + 3)(x − 2)2 − x2(x − 2) < 0 ⇒(x − 2)(2x2 − x − 6 − x2) < 0 ⇒(x − 2)(x − 3)(x + 2) < 0 ⇒x < −2, or  2 < x < 3, below x-axis DO NOT MULTIPLY OUT
图：y = (x + 2)(x − 2)(x − 3) 的图象。曲线在 x < −2 与 2 < x < 3 两段落在 x 轴下方，正是原不等式的解。

注意 — 不等号取 ≤ 或 ≥ 时要格外小心。

Example 2:Solve the inequality  xx + 1 ≥ 2x + 3 ,    x ≠ −1, x ≠ −3

Solution:Multiply both sides by (x + 1)2(x + 3)2which cannot be zero

⇒x(x + 1)(x + 3)2 ≥ 2(x + 3)(x + 1)2 ⇒x(x + 1)(x + 3)2 − 2(x + 3)(x + 1)2 ≥ 0 ⇒(x + 1)(x + 3)(x2 + 3x − 2x − 2) ≥ 0 ⇒(x + 1)(x + 3)(x + 2)(x − 1) ≥ 0 DO NOT MULTIPLY OUT
图：y = (x + 3)(x + 2)(x + 1)(x − 1) 的图象。

from sketch it looks as though the solution is

x ≤ −3    or    −2 ≤ x ≤ −1    or    x ≥ 1

BUT since  x ≠ −1,  x ≠ −3,

the solution is        x < −3    or    −2 ≤ x < −1    or    x ≥ 1, above the x-axis

图象解法Graphical solutions

Example 1:On the same diagram sketch the graphs of  y = 2xx + 3   and  y = x − 2.

Use your sketch to solve the inequality    2xx + 3 ≥ x − 2

Solution:First find the points of intersection of the two graphs

⇒2xx + 3 = x − 2 ⇒2x = x2 + x − 6 ⇒0 = (x − 3)(x + 2) ⇒x = −2  or  3
图：y = 2x/(x + 3)（红）与 y = x − 2（蓝）的交点；绿色虚线为渐近线 x = −3 与 y = 2。

From the sketch we see that

x < −3    or    −2 ≤ x ≤ 3.Note that  x ≠ −3

含 |2x − 5| 这类绝对值的不等式，往往必须先画图。

Example 2:Solve the inequality  |x2 − 19| < 5(x − 1).

Solution:It is essential to sketch the curves first in order to see which solutions are needed.

To find the point  A,  we need to solve

−(x2 − 19) = 5x − 5⇒x2 + 5x − 24 = 0 (x + 8)(x − 3) = 0⇒x = −8  or  3

From the sketch  x ≠ −8⇒x = 3

To find the point  B,  we need to solve

+(x2 − 19) = 5x − 5⇒x2 − 5x − 14 = 0 (x − 7)(x + 2) = 0⇒x = −2  or  7

From the sketch  x ≠ −2⇒x = 7

图：y = |x2 − 19|（红）与 y = 5(x − 1)（蓝）的交点 A、B。
⇒the solution of  |x2 − 19| < 5(x − 1)  is    3 < x < 7

2数列求和Series – Method of Differences

诀窍在于：把每一行都完整写出来，看相加时哪些项会相互抵消。

不要急着把每一项都算出来——那样会丢掉让你在相加时得以抵消的那个规律。

Example 1:Write  1r(r + 1)  in partial fractions, and then use the method of differences to find the sum

n∑r=11r(r + 1) = 11 × 2 + 12 × 3 + 13 × 4 + ⋯ + 1n(n + 1).

Solution:1r(r + 1)=1r−1r + 1 put  r = 1⇒11 × 2=11−12 put  r = 2⇒12 × 3=12−13 put  r = 3⇒13 × 4=13−14 etc. put  r = n⇒1n(n + 1)=1n−1n + 1
adding⇒n∑11r(r + 1)=1−1n + 1=nn + 1

Example 2:Write  2r(r + 1)(r + 2)  in partial fractions, and then use the method of differences to find the sum

n∑r=11r(r + 1)(r + 2) = 11 × 2 × 3 + 12 × 3 × 4 + 13 × 4 × 5 + ⋯ + 1n(n + 1)(n + 2).

Solution:2r(r + 1)(r + 2)=1r−2r + 1+1r + 2 put  r = 1⇒21 × 2 × 3=11−22+13 put  r = 2⇒22 × 3 × 4=12−23+14 put  r = 3⇒23 × 4 × 5=13−24+15 put  r = 4⇒24 × 5 × 6=14−25+16 etc. put  r = n − 1⇒2(n − 1)n(n + 1)=1n − 1−2n+1n + 1 put  r = n⇒2n(n + 1)(n + 2)=1n−2n + 1+1n + 2
adding⇒n∑12r(r + 1)(r + 2)=11−22+12+1n + 1−2n + 1+1n + 2 =12−1n + 1+1n + 2 =n2 + 3n + 2 − 2n − 4 + 2n + 22(n + 1)(n + 2) ⇒n∑12r(r + 1)(r + 2)=n2 + 3n2(n + 1)(n + 2) ⇒n∑11r(r + 1)(r + 2)=n2 + 3n4(n + 1)(n + 2)

3复数Complex Numbers

模与辐角Modulus and Argument

复数 z = x + iy 的模，就是 z 的长度

⇒ r = |z| = x2 + y2

而 z 的辐角，是 z 与 x 轴正方向所成的角，−π < arg z ≤ π。

注意：arg z 并不总等于 tan−1(yx)

性质Properties
z = r cos θ + i r sin θ
| zw | = | z | | w |,    and    |zw| = |z||w|
arg (zw) = arg z + arg w,   and   arg (zw) = arg z − arg w
欧拉公式 eiθEuler’s Relation
z = eiθ  =  cos θ + i sin θ
1z = e−iθ  =  cos θ − i sin θ

Example:Express  5e(i3π4)  in the form  x + iy.

Solution:  5e(i3π4) = 5(cos(3π4) + i sin(3π4))

=  −522 + i522
模辐角形式的乘除Multiplying and dividing in mod-arg form
reiθ×seiφ =  rs ei(θ+φ)
≡  (rcosθ+i rsinθ)(scosϕ+i ssinϕ) = rscos(θ+ϕ) + i rssin(θ+ϕ)

同样，

reiθ÷seiφ =  rs ei(θ−φ)
≡(rcosθ+i rsinθ)÷(scosϕ+i ssinϕ) = rs cos(θ−ϕ)+ i rs sin(θ−ϕ)

棣莫弗定理De Moivre’s Theorem

(reiθ)n =  rneinθ  ≡  (r cos θ + i r sin θ)n = (rn cos nθ + i rn sin nθ)
棣莫弗定理的应用Applications of De Moivre’s Theorem

Example:Express  sin 5θ  in terms of  sin θ  only.

Solution:From De Moivre’s Theorem we know that

cos 5θ + i sin 5θ  =  (cos θ + i sin θ)5
=  cos5θ + 5i cos4θ sinθ + 10i2 cos3θ sin2θ + 10i3 cos2θ sin3θ + 5i4 cosθ sin4θ + i5 sin5θ

Equating imaginary parts

⇒ sin 5θ = 5cos4θ sinθ − 10 cos2θ sin3θ + sin5θ = 5(1 − sin2θ )2 sinθ − 10(1 − sin2θ) sin3θ + sin5θ = 16 sin5θ − 20 sin3θ + 5 sinθ
zn + 1zn = 2 cos nθ   and   zn − 1zn = 2i sin nθ
z = cosθ + i sinθ
⇒ zn =(cosθ+isinθ)n=(cosnθ+i sinnθ)
and  1zn = z−n=(cosθ+isinθ)−n=(cosnθ−i sinnθ)

由此可以证明

(z+1z)=2cosθ    and    (z−1z)=2isinθ
zn+1zn =  2 cos nθ      and      zn−1zn =  2i sin nθ

Example:Express  sin5θ  in terms of  sin 5θ,  sin 3θ  and sinθ.

Solution:Here we are dealing with  sinθ, so we use

(2i sinθ)5 =   (z−1z)5
⇒ 32i5sin5θ = z5− 5z4(1z) + 10z3(1z2) − 10z2(1z3)+ 5z(1z4)− (1z5) ⇒ 32i sin5θ = (z5− 1z5) −5(z3− 1z3)+ 10(z− 1z) ⇒ 32i sin5θ = 2i sin 5θ    − 5 × 2i sin 3θ   + 10 × 2i sinθ ⇒ sin5θ = 116(sin5θ−5sin3θ+10sinθ)

复数 n 次方根nth roots of a complex number

求任意复数的 n 次方根，方法完全相同。

Example:Find the 4th roots of  82 + 82i, and show the roots on an Argand Diagram.

Solution:We need to solve the equation    z4 = 82 + 82i

1. Let  z  =  r cosθ  + i r sinθ ⇒ z4 =  r 4(cos 4θ + i sin 4θ) 2. | 82 + 82i | = 82+2 = 16   and    arg (82 + 82i ) =  π4 ⇒ 82 + 82i =  16 (cos π4  + i sin π4) 3. Then   z4 = 82 + 82i becomes   r 4(cos 4θ + i sin 4θ) =  16 (cos π4  + i sin π4) =  16(cos 9π4  + i sin 9π4)  adding 2π =  16 (cos 17π4  + i sin 17π4)  adding 2π =  16 (cos 25π4  + i sin 25π4)  adding 2π 4. ⇒ r 4 =  16  and 4θ   =   π4 ,    9π4 ,    17π4 ,    25π4 ⇒ r    =   2 and   θ   =   π16 ,    9π16 ,    17π16 =−15π16  ,   25π16=−7π16 ;       −π < arg z ≤ π
5.  ⇒ roots are z1 = 2 (cos π16  + i sin π16) =   1⋅962 + 0⋅390 i z2 = 2 (cos 9π16  + i sin 9π16) =   −0⋅390 + 1⋅962 i z3 = 2 (cos −15π16  + i sin −15π16) =   −1⋅962 − 0⋅390 i z4 = 2 (cos −7π16  + i sin −7π16) =   0⋅390 − 1⋅962 i

注意：这些根关于原点对称分布，相邻两根之间的夹角是 2π4 = π2。

n 次方根之间的夹角总是 2πn。

对六次方根，相邻两根的夹角是 2π6 = π3，依此类推。

实系数多项式方程的根Roots of polynomial equations with real coefficients

1.  任何实系数多项式方程，

anxn + an−1xn−1+ an−2xn−2+ ….. a2x2+ a1x+ a0 = 0 ,    ……..   (I)

其中所有 ai 都是实数，都有复数解

2.  ⇒  任何 nth 次复系数多项式都可以在复数域上分解为 n 个一次因式

3.  若 z = a + ib 是 (I) 的根，那么它的共轭 a − ib 也是根 − 见 FP1。

4.  把因式按共轭成对配起来，就可以说：任何实系数多项式都可以在实数域上分解为一次因式与二次因式的乘积。

Example:Given that  3 − 2i  is a root of  z3 − 5z2 + 7z + 13 = 0

(a)  Factorise over the real numbers

(b)  Find all three real roots

Solution:

(a)  3 − 2i  is a root  ⇒  3 + 2i  is also a root

⇒ (z − (3 − 2i))(z − (3 + 2i)) = (z2 − 6z  + 13) is a factor ⇒ z3 − 5z2 + 7z + 13 =  (z2 − 6z  + 13)(z + 1)   by inspection

(b)  ⇒  roots are  z  =   3 − 2i,   3 + 2i   and   −1

Argand 图上的轨迹Loci on an Argand Diagram

两个基本想法Two basic ideas

1.  |z – w| 是 w 到 z 的距离。

2.  arg (z – (1 + i)) 是把 (1+i) 与 z 连起来的半直线与 x 轴所成的角。

Example  1:

|z – 2 – i| = 3   is a circle with centre  (2 + i)  and radius 3

Example  2:

|z  + 3 – i|   =   |z – 2 + i|

⇔ |z  – (–3 + i)|   =   |z – (2 – i)|

is the locus of all points which are equidistant from the points  A (– 3, 1)  and  B (2, –1), and so is the perpendicular bisector of AB.

Example  3:

arg (z  – 4)  = 5π6  is a half line, from (4, 0), making an angle of  5π6  with the  x-axis.

Example  4:

|z – 3| =  2| z + 2i|   is a circle (Apollonius’s circle).

To find its equation, put  z = x + iy

⇒ |(x – 3) + iy| = 2|x + i(y + 2)|  square both sides ⇒ (x – 3)2 + y2 = 4(x2 + (y + 2)2)  leading to ⇒ 3x2 + 6x + 3y2 + 16y + 7 = 0 ⇒ (x + 1)2 + (y+83)2 = 529

which is a circle with centre (–1, −83 )  and radius  2133.

Example 5:

arg (z−2z+5)= π6 ⇒ arg(z−2)−arg(z+5)=  π6 ⇒ θ − φ  = π6

which gives the arc of the circle as shown.

N.B.

x 轴下方对应的那段弧，方程是

arg (z−2z+5)= − π6

因为在这幅图里 θ – φ 会取负值（θ 是一个比 φ 更大的负数）。

复平面的变换Transformations of the Complex Plane

永远从 z 平面出发，变到 w 平面；记 z = x + iy 与 w = u + iv。

Example 1:Find the image of the circle  |z − 5| = 3

under the transformation  w= 1z−2  .

Solution:  First  rearrange to find  z

w= 1z−2 ⇒ z − 2 = 1w ⇒ z = 1w + 2

Second  substitute in equation of circle

⇒ |1w + 2 − 5|= 3 ⇒ |1−3ww|= 3 ⇒ | 1 − 3w| = 3|w| ⇒ 3|13 − w| = 3|w| ⇒ | w−13| = |w|

which is the equation of the perpendicular bisector of the line joining  0  to  13,

⇒     the image is the line  u = 16

务必先考虑上面的「模法」；

若模法行不通，再用下面演示的 u + iv 法。

Example 2:Show that the image of the line  x + 4y = 4  under the transformation  w= 1z−3  is a circle, and find its centre and radius.

Solution:First rearrange to find z  ⇒   z = 1w+ 3.

The ‘modulus technique’ is not suitable here.

z = x + iy    and  w = u + iv

⇒ z  =   1w+ 3 =    1u+iv+ 3 = 1u+iv × u−ivu−iv + 3 ⇒ x + iy   =    u−ivu2+v2+   3

Equating real and imaginary parts   x  =  uu2+v2 + 3   and  y = −vu2+v2

⇒ x + 4y = 4    becomes   uu2+v2 + 3  − 4vu2+v2 = 4 ⇒ u2 − u  +  v2 + 4v =  0 ⇒ (u−12)2+(v+2)2= 174

which is a circle with centre (12, −2)  and radius  172.

书里还有很多例题，但重要的技巧就是上面这两个。

轨迹与几何Loci and geometry

画图永远很重要。

Example:  z  lies on the circle  |z − 2i| = 1.

Find the greatest and least values of  arg  z.

Solution:  Draw a picture!

The greatest and least values of  arg  z  will occur at  B  and  A.

Trigonometry tells us that

θ = π6

and so greatest and least values of  arg  z  are  2π3   and   π3

4一阶微分方程First Order Differential Equations

分离变量与曲线族Separating the variables, families of curves

Example:Find the general solution of

dydx = y2x(x+1) ,   for x > 0,

and sketch some of the family of solution curves.

Solution:  dydx = y2x(x+1)  ⇒  ∫ 2y dy  =  ∫ 1x(x+1) dx = ∫ 1x− 1x+1  dx

⇒ 2 ln y  =  ln x − ln (x + 1) + ln A ⇒ y2 = Axx+1

Thus for varying values of  A  and for  x > 0, we have

恰当方程Exact Equations

在恰当方程里，左端本身就是一个恰当导数（这其实是为后面的积分因子做准备）。

Example: Solve   sin x dydx + y cos x = 3x2

Solution:Notice that the L.H.S. is an exact derivative

sin x dydx + y cos x  =  ddx(y sin x)

⇒ ddx(y sin x)  =  3x2 ⇒ y sin x = ∫ 3x2 dx  =  x3 + c ⇒ y =  x3 + csinx

积分因子Integrating Factors

dydx + Py = Q 其中 P 与 Q 都只是 x 的函数。

这时，两边同乘一个积分因子 R = e∫P dx。

左端就变成一个恰当导数 ddx(Ry)。

然后照上一例的做法继续。

Example: Solve    x dydx  + 2y  =  1

Solution:First divide through by  x

⇒ dydx   +   2xy = 1x  now in the correct form Integrating Factor, I.F., is  R = e∫P dx  =  e∫2x dx  =  e2 ln x  =  x2 ⇒ x2 dydx  + 2xy  =  x  multiplying by x2 ⇒ ddx(x2y)  =  x ,  check that it is an exact derivative ⇒ x2y  =  ∫x dx = x22  +   c ⇒ y   =   12+cx2

换元法Using substitutions

Example 1: Use the substitution  y = vx  (where  v is a function of  x) to solve the equation

dydx = 3yx2+y3x3 + xy2 .

Solution: y = vx     ⇒  dydx  =   v +  x dvdx

⇒ dydx = 3yx2+y3x3 + xy2   ⇒   v +  x dvdx = 3(vx)x2 + (vx)3x3 + x(vx)2  =  3v + v31+v2

and we can now separate the variables

⇒ x dvdx  =  3v+ v31+v2 − v = 3v + v3 − v − v31+v2  = 2v1+v2 ⇒ 1+v22v dvdx = 1x ⇒ ∫12v + v2  dv   =  ∫1x dx ⇒ 12 ln v +  v24   =  ln x  +  c But   v = yx, ⇒ 12 ln yx +  y24x2   =  ln x  +  c ⇒ 2x2 ln y + y2 = 6x2 ln x  +  c′x2  c′ is new arbitrary constant

and I would not like to find  y!!!

如果题目要求用换元 v=yx，就改写成 y = vx，然后照上一例做。

Example 2: Use the substitution  y = 1z  to solve the differential equation

dydx = y2 + y cot x .

Solution: y = 1z      ⇒     dydx = −1z2 dzdx

⇒ −1z2 dzdx = 1z2  +  1zcot x ⇒ dzdx +  z cot x  =  −1 Integrating factor is  R = e∫cot x dx  =   eln(sin x) = sin x ⇒ sin x dzdx  + z cos x  =  − sin x ⇒ ddx(z sin x) = − sin x  check that it is an exact derivative ⇒ z sin x  =  cos x  +  c ⇒ z  = cos x+csin x  but z = 1y ⇒ y = sin xcos x+c

Example 3: Use the substitution  z = x + y  to solve the differential equation

dydx = cos(x + y)

Solution: z = x + y    ⇒  dzdx=1 + dydx

⇒ dzdx = 1 + cos z ⇒ ∫11+cos z dz =  ∫dx  separating the variables ⇒ ∫12 sec2(z2)  dz =  x + c  1 + cos z = 1 + 2 cos2(z2) − 1 = 2 cos2(z2) ⇒ tan(z2)  = x + c But   z = x + y    ⇒ tan(x+y2) = x + c

5二阶微分方程Second Order Differential Equations

常系数线性方程Linear with constant coefficients

a d2ydx2 + b dydx + cy = f(x) 其中 a、b、c 都是常数。

(1)  当 f(x) = 0 时

先写出辅助方程（A.E）

A.E.  am2 + bm + c = 0

再解出它的根  m =  α、β

(i)  若  α、β 都是实数，且 α ≠ β
则补函数（C.F.）为
y = A eαx + B eβx， 其中 A 与 B 是任意常数。

(ii)  若  α、β 都是实数，且 α = β
则补函数（C.F.）为
y = (A+Bx) eαx， 其中 A 与 B 是任意常数。

(iii)  若  α、β 都是复数，且 α = a + ib，β = a − ib
则补函数（C.F.）为
y = eax(A sin bx + B cos bx)，
其中 A 与 B 是任意常数。

Example 1:Solve  d2ydx2 + 2dydx − 3y = 0

Solution:A.E. is  m2 + 2m − 3 = 0

⇒ (m−1)(m+3) = 0 ⇒ m = 1  or  −3 ⇒ y=Aex + Be−3xwhen f(x) = 0, the C.F. is the solution

Example 2:Solve  d2ydx2 + 6dydx + 9y = 0

Solution:A.E. is  m2 + 6m + 9 = 0

⇒ (m + 3)2 = 0 ⇒ m = −3  (and −3)repeated root ⇒ y=(A+Bx)e−3xwhen f(x) = 0, the C.F. is the solution

Example 3:Solve  d2ydx2 + 4dydx + 13y = 0

Solution:A.E. is  m2 + 4m + 13 = 0

⇒ (m + 2)2 = −9 = (3i)2 ⇒ (m + 2) =  ± 3i ⇒ m = −2 − 3i  or  −2 + 3i ⇒ y = e−2x(A sin 3x + B cos 3x)when f(x) = 0, the C.F. is the solution

(2)  当 f(x) ≠ 0 时，特解

第一步照 (1) 的做法求出补函数，再用下面的规则求一个特解（P.I.）。

第二步把 C.F. 与 P.I. 相加，就得到通解（G.S.）。

⇒ G.S.  =  C.F.  +  P.I.

注意：用哪个 P.I. 都无所谓，所以不妨挑最好算的那个， 下面这几条规则就是用来挑的。

(1)

f(x) = ekx.

试设 y = Aekx

但若 ekx 已经单独出现在 C.F. 里，就改试 y = Cxekx

若 xekx 也已单独出现在 C.F. 里，则试 y = Cx2ekx。

(2)

f(x) = sin kx 或 f(x) = cos kx

试设 y = C sin kx + D cos kx

但若 sin kx 或 cos kx 已经单独出现在 C.F. 里，则

试设 y=x(C sin kx + D cos kx)

(3)

f(x) = 关于 x 的 n 次多项式。

试设 f(x) = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + … + a1x + a0

但若 C.F. 里已经单独出现了一个常数，则

试设 f(x) = x(anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 + … + a1x + a0)

也就是试设 f(x) = 关于 x 的 n 次多项式。

(4)

一般情形

求 P.I. 时先照 f(x) 的样子试设；若它出现在 C.F. 里（或者遇到麻烦），就改照 xf(x) 的样子试设。

Example 1:Solve  d2ydx2 + 6dydx + 5y = 2x

Solution:A.E.  is  m2 + 6m + 5 = 0

⇒(m + 5)(m + 1) = 0⇒m = −5  or  −1
⇒ C.F. is  y=Ae−5x + Be−x

For the P.I., try  y = Cx + D

⇒ dydx=C   and   d2ydx2=0

Substituting in the differential equation gives

0 + 6C + 5(Cx + D) = 2x

⇒ 5C = 2comparing coefficients of x ⇒ C = 25 and 6C + 5D = 0comparing constant terms ⇒ D = −1225 ⇒ P.I. is  y= 25x − 1225 ⇒ G.S. is  y=Ae−5x + Be−x + 25x − 1225

Example 2:Solve  d2ydx2 − 6dydx + 9y = e3x

Solution:A.E. is  is  m2 − 6m + 9 = 0

⇒ (m − 3)2  =  0 ⇒ m  =  3repeated root ⇒ C.F. is  y=(Ax + B)e3x

In this case, both  e3x  and  xe3x  appear, on their own, in the C.F., so for a P.I. we try  y=Cx2e3x

⇒ dydx = 2Cxe3x + 3Cx2e3x and  d2ydx2 = 2Ce3x + 6Cxe3x + 6Cxe3x + 9Cx2e3x

Substituting in the differential equation gives

2Ce3x + 12Cxe3x + 9Cx2e3x − 6(2Cxe3x + 3Cx2e3x) + 9 Cx2e3x = e3x

⇒ 2Ce3x = e3x ⇒ C= 12 ⇒ P.I. is   y=12x2e3x ⇒ G.S. is   y=(Ax + B)e3x + 12x2e3x

Example 3:Solve  d2xdt2 − 3dxdt + 2x = 4 cos 2t

given that  x = 0 and  ẋ = 1  when  t= 0.

Solution:A.E. is  m2 − 3m + 2 = 0

⇒ m  =  1 or 2 ⇒ C.F. is  x=Aet + Be2t
For the P.I. try  x=C sin 2t + D cos 2tBOTH sin 2t AND cos 2t are needed
⇒ ẋ =  2C cos 2t − 2D sin 2t and  ẍ = −4C sin 2t − 4D cos 2t

Substituting in the differential equation gives

(−4C sin 2t − 4D cos 2t) − 3(2C cos 2t − 2D sin 2t) + 2(C sin 2t + D cos 2t) = 4 cos 2t

⇒−2C + 6D = 0⇒−C + 3D = 0comparing coefficients of  sin 2t
and−6C − 2D  =  4⇒3C + D  =  −2comparing coefficients of  cos 2t
⇒ C = −35   and   D= −15 ⇒ P.I. is   x=−35sin 2t − 15cos 2t ⇒ G.S. is   x=Aet + Be2t − 35sin 2t − 15cos 2t ⇒ ẋ = Aet + 2Be2t − 65cos 2t + 25sin 2t
x = 0 and  when  t = 0⇒0 = A + B − 15
and  ẋ = 1  when  t = 0⇒1 = A + 2B − 65
⇒ A = −95   and   B =  2 ⇒ solution is   x=−95et + 2e2t − 65sin 2t − 25cos 2t

形如 ax2d2ydx2 + bxdydx + cy = f(x) 的方程D.E.s of the form

作换元x = eu

⇒dxdu  =  eu = x⇒dudx=1x
and  dydx = dydu × dudx
⇒dydx=1x dydu⇔x dydx = dydu  I  
⇒ d2ydx2 = −1x2 dydu + 1x d(dy/du)dx ⇒ d2ydx2 = −1x2 dydu + 1x d(dy/du)du dudxchain rule ⇒ d2ydx2 = −1x2 dydu + 1x2 d2ydu2
⇒x2d2ydx2 = d2ydu2 − dyduII    
于是得到  x2d2ydx2 = d2ydu2 − dydu  以及  xdydx  = dydu来自 I 与 II

把这些代回原方程，就化成一个常系数二阶微分方程。

Example:Solve the differential equation  x2d2ydx2 − 3x dydx + 3y = −2x2.

Solution:Using the substitution  x = eu, and proceeding as above

x2d2ydx2 = d2ydu2 − dydu   and   xdydx  = dydu

⇒ d2ydu2 − dydu − 3 dydu + 3y = −2e2u ⇒ d2ydu2  −  4 dydu + 3y = −2e2u ⇒ A.E. is  m2 − 4m + 3 = 0
⇒(m − 3)(m − 1)  =  0⇒m  =  3 or 1
⇒ C.F. is  y =  Ae3u  +  Beu

For the P.I. try  y = Ce2u

⇒ dydu = 2Ce2u    and    d2ydu2 = 4Ce2u ⇒ 4Ce2u − 8Ce2u + 3Ce2u = −2e2u ⇒ C = 2 ⇒ G.S. is  y =  Ae3u  +  Beu +  2e2u
Butx = eu⇒G.S. is  y =  Ax3  +  Bx +  2x2

6麦克劳林级数与泰勒级数Maclaurin and Taylor Series

1)    麦克劳林级数

f(x) = f(0) + xf′(0) + x22!f′′(0) + x33!f′′′(0) + ⋯ + xnn!fn(0) + ⋯

2)    泰勒级数

f(x + a) = f(a) + xf′(a) + x22!f′′(a) + x33!f′′′(a) + ⋯ + xnn!fn(a) + ⋯

3)    泰勒级数：写成 (x − a) 的幂级数

在 2) 中把 x 换成 (x − a)，得

f(x) = f(a) + (x − a)f′(a) + (x − a)22!f′′(a) + (x − a)33!f′′′(a) + ⋯ + (x − a)nn!fn(a) + ⋯

4)    用泰勒级数解微分方程

(a)    若已知 x = 0 时 y 的值，就用麦克劳林级数，其中

f(0) = y0 x = 0 时 y 的值 f′(0) = (dydx)0 x = 0 时 dydx 的值

从而得到

f(x) = y = y0 + x(dydx)0 + x22!(d2ydx2)0 + x33!(d3ydx3)0 + ⋯ + xnn!(dnydxn)0 + ⋯

(b)    若已知 x = a 时 y 的值，就用泰勒级数，其中

f(a) = ya x = a 时 y 的值 f′(a) = (dydx)a x = a 时 dydx 的值

从而得到

y = ya + (x − a)(dydx)a + (x − a)22!(d2ydx2)a + (x − a)33!(d3ydx3)a + ⋯

注意：4 (a) 与 4 (b) 不在公式册里，但用 1) 与 3) 的结果很容易推出来。

标准级数Standard series

ex = 1 + x + x22! + x33! + ⋯ + xnn! + ⋯ 对一切实数 x 收敛
sin x = x − x33! + x55! − ⋯ + (−1)n−1x2n−1(2n−1)! + ⋯ 对一切实数 x 收敛
cos x = 1 − x22! + x44! − ⋯ + (−1)n−1x2n−2(2n−2)! + ⋯ 对一切实数 x 收敛
ln(1 + x) = x − x22 + x33 − ⋯ + (−1)n−1xnn + ⋯ 当 −1 < x ≤ 1 时收敛
(1 + x)n = 1 + nx + n(n−1)2!x2 + ⋯ + n(n−1)…(n−r + 1)r!xr + ⋯ 当 −1 < x < 1 时收敛

Example 1:Find the Maclaurin series for f(x) = tan x, up to and including the term in x3

Solution:f(x) = tan x⇒f(0) = 0 ⇒f′(x) = sec2x⇒f′(0) = 1 ⇒f′′(x) = 2 sec2x tan x⇒f′′(0) = 0 ⇒f′′′(x) = 4 sec2x tan2x + 2 sec4x⇒f′′′(0) = 2
and  f(x) = f(0) + xf′(0) + x22!f′′(0) + x33!f′′′(0) + ⋯ + xnn!fn(0) + …
⇒tan x ≅ 0 + x×1 + x22!×0 + x33!×2up to the term in x3 ⇒tan x ≅ x + x33

Example 2:Using the Maclaurin series for ex to find an expansion of ex+x2, up to and including the term in x3.

Solution:  ex = 1 + x + x22! + x33! + …

⇒ex+x2 ≅ 1 + (x+x2) + (x+x2)22! + (x+x2)33!up to the term in x3 ≅ 1 + x + x2 + x2+2x3+⋯2! + x3+⋯3!up to the term in x3 ⇒ex+x2 ≅ 1 + x + 32x2 + 76x3up to the term in x3

Example 3:Find a Taylor series for cot(x + π4), up to and including the term in x2.

Solution:  f(x) = cot x and we are looking for

f(x + π4) = f(π4) + xf′(π4) + x22!f′′(π4) f(x) = cot x⇒f(π4) = 1 ⇒f′(x) = −cosec2x⇒f′(π4) = −2 ⇒f′′(x) = 2cosec2x cot x⇒f′′(π4) = 4 ⇒cot(x + π4) ≅ 1 − 2x + x22!×4up to the term in x2 ⇒cot(x + π4) ≅ 1 − 2x + 2x2up to the term in x2

Example 4:Use a Taylor series to solve the differential equation,

y d2ydx2 + (dydx)2 + y = 0 equation I

up to and including the term in x3, given that y = 1  and dydx = 2  when x = 0.

In this case the initial value of x is 0, so we shall use

f(x) = f(0) + xf′(0) + x22!f′′(0) + x33!f′′′(0) + ⋯ + xnn!fn(0) + ⋯
⇔ y = y0 + x(dydx)0 + x22!(d2ydx2)0 + x33!(d3ydx3)0.
We already know that  y0 = 1  and  (dydx)0 = 2 values when x = 0
⇒ (d2ydx2)0 = (−1y(dydx)2 − 1)0 = −5 values when x = 0
equation I y d2ydx2 + (dydx)2 + y = 0
Differentiating⇒ y d3ydx3 + dydx×d2ydx2 + 2 dydx×d2ydx2 + dydx = 0
Substituting  y0 = 1,  (dydx)0= 2 and  (d2ydx2)0 = −5 values when x = 0
⇒ (d3ydx3)0 + 2 × (−5) + 2 × 2 × (−5) + 2 = 0
⇒ (d3ydx3)0 = 28
⇒ solution is  y ≅ 1 + 2x + x22! × (−5) + x33! ×28
⇒ y ≅ 1 + 2x − 52x2 + 143x3

复合函数的级数展开Series expansions of compound functions

Example:Find a polynomial expansion for

cos 2x1 − 3x  ,   up to and including the term in x3.

Solution:Using the standard series

cos 2x = 1 − (2x)22! + ⋯up to and including the term in x3
and(1 − 3x)−1=1 + 3x + −1×−22!(−3x)2 + −1×−2×−33!(−3x)3 =1 + 3x + 9x2 + 27x3up to and including the term in x3 ⇒cos 2x1 − 3x=(1 − (2x)22!)(1 + 3x + 9x2 + 27x3) =1 + 3x + 9x2 + 27x3 − 2x2 − 6x3up to and including the term in x3 ⇒cos 2x1 − 3x=1 + 3x + 7x2 + 21x3up to and including the term in x3

7极坐标Polar Coordinates

点 P 的极坐标是 (r, θ)

其中 r = OP 是到原点（极点 pole）的距离，

而 θ 是从初始线（initial line）按逆时针方向量出的角。

在 Edexcel 大纲里 r 一律取正值或 0，且 0 ≤ θ < 2π

（但在大多数书里 r 可以取负值，因此 (−4, π2) 与 (4, 3π2) 表示同一个点）

极坐标与直角坐标Polar and Cartesian coordinates

由上图可得

r = x2 + y2

而 tan θ= yx（用草图判断 θ 落在第几象限）。

x = r cos θ  与  y = r sin θ。

曲线草图Sketching curves

实际操作里，若被要求画一条曲线的草图，最好的办法通常是先描几个点。所谓 θ 的「关键值」，就是那些使 r = 0 的值。

本讲义里的草图会用虚线画出 r 取负值的那几段；就 Edexcel A-level 而言，这些部分可以忽略。

常见曲线Some common curves

r = a + b cos θ
心脏线
Cardiod
a = b
无凹口蜗线
Limacon without dimple
a ≥ 2b,
有凹口蜗线
Limacon with a dimple
b ≤ a < 2b
带圈蜗线
Limacon with a loop
a < b
圈内 r 为负
圆
Circle
 
半直线
Half line
 
直线
Line (x = 3)
 
直线
Line (y = 3)
 
圆
Circle
 

在直角坐标里，y = f(x − a) 的图象是 y = f(x) 的图象沿 x 轴方向平移 a 得到的。

同样地，r = 3 sec(θ − α)，或 r = 3 sec(α − θ) 的图象，是把 r = sec θ 的图象绕极点逆时针旋转 α 得到的。

绕极点逆时针旋转后的直线
Line (x = 3 rotated through π6)
 
绕极点逆时针旋转后的直线
Line (y = 3 rotated through π6)
 

玫瑰线 Rose Curves

r = 4 cos 3θ
 
0 ≤ θ < π
x 轴下方，r 为负
r = 4 cos 3θ
 
π ≤ θ < 2π
x 轴上方，r 为负
r = 4 cos 3θ
 
0 ≤ θ < 2π
整条曲线，r ≥ 0

当 n 为奇数时，玫瑰线在 0 ≤ θ < 2π 范围内总有 n 个花瓣。

r = 3 cos 4θ

当 n 为偶数时，在 r ≥ 0 且 0 ≤ θ < 2π 的范围内有 n 个花瓣。

因此，不论 n 是奇数还是偶数，只要只取 r 的正值（或 0），玫瑰线 r = a cos θ 总有 n 个花瓣。

Edexcel 只允许 r 取正值或 0。

双纽线
Leminiscate of Bernoulli
 
螺线 r = 2θ
Spiral
 
螺线 r = eθ
Spiral
 

用极坐标求面积Areas using polar coordinates

圆 r = 10 cos θ

注意：在以 OA 为直径的圆中，角 P 是 90°（半圆上的圆周角），由三角关系可得 r = 10 cos θ。

圆 r = 10 sin θ

同理，r = 10 sin θ 给出的是以 y 轴上的线段为直径的圆。

记住：扇形面积是 12r2θ

Area of OPQ  =  δA≈12r2δθ ⇒Area OAB≈∑(12r2δθ)

当 δθ → 0 时

⇒Area OAB=∫θ1θ2 12r2 dθ

与初始线平行和垂直的切线Tangents parallel and perpendicular to the initial line

Example:   Find the area between the

curve r = 1 + tan θ

and the half lines  θ = 0 and θ = π3

Solution:

Area=∫0π/3 12r2 dθ =∫0π/3 12(1 + tan θ)2 dθ =∫0π/3 12(1 + 2 tan θ + tan2θ)  dθ =∫0π/3 12(2 tan θ + sec2θ)  dθ =12[2 ln(secθ) + tan θ]0π/3 =ln 2 + 32
y = r sin θ  and  x = r cos θ
dydx  =  dy/dθdx/dθ

1)切线平行于初始线（θ = 0），即水平，当 dydx=0：

⇒ dydθ=0 ⇒ ddθ(r sin θ) =  0

2)切线垂直于初始线（θ = 0），即竖直，当 dydx 无穷大：

⇒ dxdθ=0 ⇒ ddθ(r cos θ) =  0

注意：若同时有 dydθ=0 与 dxdθ=0，则 dydx 无定义，此时应借助草图判断（或使用 l’Hôpital 法则）。

Example:   Find the coordinates of the points on  r=1+cos θ where the tangents are

(a)  parallel to the initial line,

(b)  perpendicular to the initial line.

Solution:   r=1+cos θ is shown in the diagram.

(a)  Tangents parallel to  θ = 0 (horizontal)

⇒dydθ=0⇒ddθ(r sin θ) =  0 ⇒ddθ((1+cos θ) sin θ) = 0⇒ddθ(sin θ + sin θ cos θ) = 0 ⇒cos θ − sin2θ + cos2θ = 0⇒2 cos2θ + cos θ − 1 = 0 ⇒(2 cos θ − 1)(cosθ + 1) = 0⇒cos θ = 12 or −1 ⇒θ = ±π3  or  π

(b)  Tangents perpendicular to  θ = 0 (vertical)

⇒dxdθ=0⇒ddθ(r cos θ) =  0 ⇒ddθ((1+cos θ) cos θ) = 0⇒ddθ(cos θ + cos2θ) = 0 ⇒− sin θ − 2 cos θ sin θ = 0⇒sin θ(1 + 2 cos θ)  =  0 ⇒cos θ = −12 or sin θ=0 ⇒θ = ±2π3  or  0, π

From the above we can see that

(a)   the tangent is parallel to  θ = 0

at  B (θ=π3), and E (θ=−π3),

also at  θ = π, the origin – see below (c)

(b)   the tangent is perpendicular to  θ = 0

at  A (θ = 0), C (θ=2π3) and D (θ=−2π3)

(c)   we also have both dxdθ=0 and dydθ=0 when  θ = π!!!

From the graph it looks as if the tangent is parallel to  θ = 0 at the origin, when θ = π, and from l’Hôpital’s rule it can be shown that this is true.

附录Appendix

n 次单位根的求法nth roots of 1

简捷方法Short method

Example:Find the 5th roots of  −4 + 4i  =  4√2 e3πi/4

Solution:First find the root with the smallest argument

(4√2 e3πi/4)1/5  =  √2 e3πi/20

Then sketch the symmetrical ‘spider’ diagram where the angle between successive roots is  2π5  =  8π20

then find all five roots by successively adding 8π/20 to the argument of each root

to give

√2 e3πi/20,  √2 e11πi/20,  √2 e19πi/20,

√2 e27πi/20  =  √2 e−13πi/20, and  √2 e35πi/20  =  √2 e−5πi/20.

这可以推广到求任意复数的 n 次方根：把 2πn 逐次加到每个根的辐角上。

警告：考试时务必确保你的方法写得非常清楚。

单位根之和Sum of nth roots of 1

考察 z10  =  1 的解，即 1 的十个 10 次方根。

设 ω 是辐角最小的那个 1 的 10 次方根。「蜘蛛图」显示这些根是 ω, ω2, ω3, ω4, … , ω9 以及 1。

对称性表明这些根的总和是一个实数，但要证明这个和为 0 还需要代数推导。

ω  ≠  1,   and ω10  =  1 ⇒ 1 − ω10  =  0 ⇒ (1 − ω)(1 + ω  + ω2 + ω3 + ω4 + …  + ω9)  =  0   因式分解 ⇒ 1 + ω  + ω2 + ω3 + ω4 + …  + ω9  =  0,  因为 1 − ω  ≠  0

⇔ 1 的十个 10 次方根之和为 0。

这可以推广：对任意 n，1 的 n 次方根之和都是 0。

一阶微分方程1st order differential equations

积分因子法的证明Justification of the Integrating Factor method.

dydx  + Py  =  Q  其中 P 与 Q 都是 x 的函数。

我们需要找一个积分因子 R（关于 x 的函数），使得用它乘方程左端后得到一个恰当导数。

把左端乘以 R 得到

R dydx  +  RPy

若要它成为恰当导数，从第一项就能看出应当尝试

ddx(Ry)  =  R dydx  +  y dRdx  =  R dydx  +  RPy

⇒ y dRdx  =  RPy ⇒ ∫ 1R dR  =  ∫ P dx ⇒ ln R   = ∫ P dx ⇒ R      =  e∫P dx

因此 e∫P dx 就是所需的积分因子（I.F.，Integrating Factor）。

二阶线性微分方程Linear 2nd order differential equations

特征方程与补函数：两个不等的实根Justification of the A.E. – C.F. technique for unequal roots

d2ydx2  +  bdydx  +  cy  =  0

不失一般性，可以把 d2ydx2 的系数取作 1。

设特征方程（A.E.）的根为 α 与 β（α ≠ β），则特征方程可写成

(m − α)(m − β)  =  0   ⇔   m2 − (α + β) m  +  αβ  =  0

于是微分方程可以写成

d2ydx2  −  (α + β) dydx  +  αβy  =  0      I

我们可以「形式地因式分解」成

(ddx − α)(dydx − βy)  =  0      II

    乘开来验算一下

令 dydx − βy  =  z，代入 II，得

⇒ dzdx − αz  =  0 ⇒ ∫ 1z dz  =  ∫ α dx ⇒ z  =  A eαx

但 dydx − βy  =  z，所以

dydx  −  βy  =  A eαx

积分因子是 e−βx。

⇒ e−βx dydx  −  β e−βxy  =  A eαx e−βx ⇒ d(e−βxy)dx  =  A e(α−β)x
⇒ e−βxy  =  Aα−β e(α−β)x  +  B ⇒ y  =  A′ eαx  +  Beβx

这就是特征方程有不等实根时的补函数（C.F.）。

特征方程与补函数：两个相等的实根Justification of the A.E. – C.F. technique for equal roots

d2ydx2  +  bdydx  +  cy  =  0

不失一般性，可以把 d2ydx2 的系数取作 1。

设特征方程的根为 α 与 α（相等的根），则特征方程可写成

(m − α)(m − α)  =  0   ⇔   m2 − 2α m  +  α2  =  0

于是微分方程可以写成

d2ydx2  −  2α dydx  +  α2y  =  0      I

我们可以「形式地因式分解」成

(ddx − α)(dydx − αy)  =  0      II

    乘开来验算一下

令 dydx − αy  =  z，代入 II，得

⇒ dzdx − αz  =  0 ⇒ ∫ 1z dz  =  ∫ α dx ⇒ z  =  A eαx

但 dydx − αy  =  z，所以

dydx  −  αy  =  A eαx

积分因子是 e−αx。

⇒ e−αx dydx  −  α e−αxy  =  A eαx e−αx ⇒ d(e−αxy)dx  =  A
⇒ e−αxy  =  Ax  +  B ⇒ y  =  (Ax + B) eαx

这就是特征方程有相等实根时的补函数（C.F.）。

特征方程与补函数：一对共轭复根Justification of the A.E. – C.F. technique for complex roots

设 α 与 β 是特征方程的复根，那么它们必然以共轭对出现（见 FP1）,

⇒ α  =  a + ib   and   β  =  a − ib ⇒ C.F.   is   y  =  A e(a+ib)x  +  B e(a−ib)x   假定微积分对复数也成立 — 确实成立
⇒ y  =  eax(A eibx  +  B e−ibx)  =  eax(A(cos x  + i sin x)  +  B(cos x  − i sin x)) ⇒ C.F.   is   y  =  eax(C cos x  +  D sin x),    其中 C 与 D 是任意常数

至此我们得到了和前面一样求补函数的规则。

ad2ydx2  +  b dydx  +  cy  =  0   其中 a、b、c 都是常数

先写出特征方程（Auxiliary Equation，A.E.）

A.E.   am2+ bm + c  =  0

解出根 m  =  α   or   β。

α 与 β 都是实数，且 α ≠ β

那么补函数（C.F.）为

y  =  A eαx  +  B eβx   其中 A 与 B 是任意积分常数

α 与 β 都是实数，且 α = β

那么补函数（C.F.）为

y  =  (A + Bx) eαx   其中 A 与 B 是任意积分常数

α 与 β 是一对共轭复数，且 α=a+ib, β=a−ib

那么补函数（C.F.）为

y  =  eax(A sin bx+  B cos bx),   其中 A 与 B 是任意积分常数

通解、补函数与特解Justification that G.S. = C.F. + P.I.

考虑微分方程 ay′′ + by′ + cy  =  f (x)

设 u（关于 x 的函数）是补函数中任意一个成员，而 v 是上述微分方程的一个特解。

⇒ au′′ + bu′ + cu  =  0 and av′′ + bv′ + cv  =  f (x)

令 w  =  u  +  v

则

aw′′ + bw′ + cw   =   a(u + v)′′ + b(u + v)′ + c(u + v)

  =  (au′′ + bu′ + cu)  +  (av′′ + bv′ + cv)  =  0 + f (x)  =  f (x)

⇒ w is a solution of   ay′′ + by′ + cy  =  f (x) ⇒ all possible solutions  y  =  u  +  v are part of the General Solution.   I

下面还要证明：通解中的任意一个成员都能写成 u + v 的形式，其中 u 是补函数的某个成员，而 v 就是上面用过的那个特解。

设 z 是通解中的任意一个成员，则 az′′ + bz′ + cz  =  f (x)。

考虑 z  −  v

a(z − v)′′ + b(z − v)′ + c(z − v)  =  (az′′ + bz′ + cz)  −  (av′′ + bv′ + cv)

   =  f (x)  −  f (x)  =  0

⇒ (z − v) is some member of the C.F. – call it u ⇒ z − v  =  u   ⇒   z  =  u  +  v

于是通解中的任意成员 z 都能写成 u + v 的形式，其中 u 是补函数的某个成员，而 v 就是上面用过的那个特解。 II

I and II   ⇒   the Complementary Function + a Particular Integral forms the complete General Solution.

麦克劳林级数Maclaurin’s Series

麦克劳林级数的证明Proof of Maclaurin’s series

要把任意函数表示成 x 的幂级数。

设 f (x)  =  a  +  bx  +  cx2  +  dx3  +  ex4  +  fx5  +  …  I

put  x  =  0   ⇒   f (0)  =  a 求导 ⇒  f ′(x)  =  b  +  2cx  +  3dx2  +  4ex3  +  5fx4  +  … put  x  =  0   ⇒   f ′(0)  =  b 求导 ⇒  f ″(x)  =  2 × 1c  +  3 × 2dx  +  4 × 3ex2  +  5 × 4fx3  +  … put  x  =  0   ⇒   f ″(0)  =  2 × 1c   ⇒   c  =  12!f″(0) 求导 ⇒  f ′″(x)  =  3 × 2 × 1d  +  4 × 3 × 2ex  +  5 × 4 × 3fx2  +  … put  x  =  0   ⇒   f ′″(0)  =  3 × 2 × 1d   ⇒   d  =  13!f′″(0)

照这样继续下去，可以看出 I 中 xn 的系数是 1n!fn(0)。

⇒  f (x)  =   f (0)  +  xf ′(0)  +  x22!f″(0)  +  x33!f′″(0)  +  …  +  xnn!fn(0)  +  …

这个级数收敛的 x 取值范围取决于 f (x)，已超出本课程的范围。

泰勒级数的证明Proof of Taylor’s series

若令 f (x)  =  g(x + a)，则

f (0)  =  g(a),   f ′(0)  =  g′(a),   f ″(0)  =  g″(a),   …  ,   fn(0)  =  gn(a), …

而麦克劳林级数变成

g (x + a)  =   g (a)  +  xg′(a)  +  x22!g″(a)  +  x33!g′″(a)  +  …  +  xnn!gn(a) + …

这就是把 g(x + a) 按 x 的幂展开的泰勒级数。

把 x 换成 (x − a)，就得到

g (x)  =   g (a)  +  (x − a)g′(a)  +  (x−a)22!g″(a)  +  (x−a)33!g′″(a)  +  …  +  (x−a)nn!gn(a) + …

这就是把 g (x) 按 (x − a) 的幂展开的泰勒级数。

🎓 成绩等级与 A* 规则

单元成绩由原始分（Raw）换算为统一分（UMS）后合并计算。各等级所需的最低 UMS 分如下：

资格等级最高 UMS 分ABCDE
International AS（合并代码 XMA01、XFM01、XPM01）300240210180150120
International A Level（合并代码 YMA01、YFM01、YPM01）600480420360300240

总 UMS 在 0–119（International AS）或 0–239（International A Level）区间的考生将被评为 Unclassified（U，未分级）。

  • IAL 数学（Mathematics）：总分达 A（至少 480 / 600），且 P3、P4 两单元合计 UMS 至少 180 / 200，方授予 A*。
  • IAL 进阶数学（Further Mathematics）：总分达 A（至少 480 / 600），且成绩最好的三个 IA2 单元（纯数或应用单元均可）合计 UMS 至少 270 / 300，方授予 A*。
  • IAL 纯数学（Pure Mathematics）：总分达 A（至少 480 / 600），且 IA2 单元合计 UMS 至少 270 / 300，方授予 A*。

译自 Pearson Edexcel《International Advanced Level Mathematics / Further Mathematics / Pure Mathematics Specification》（Issue 3, 2019）第 74 页「Qualification results」。

📈 近三次考季分数线（官方文件截图）

每次考季后 Pearson 按当次试卷难度公布各单元的 Raw（原始分）分界；UMS 分界固定不变（AS 单元 a–e 对应 80/70/60/50/40，A2 单元另设 a* = 90）。表中同一单元的两行（如 Unit 1 与 Unit 1A）为同一份试卷的不同版本，Raw 分界不同、UMS 分界相同，具体以考生所考版本为准。

📍 2026年6月考季

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截图来源：qualifications.pearson.com 官方「Grade boundaries — International A Level」文件（2026 年 6 月 / 2026 年 1 月 / 2025 年 10 月考季）。2025 年 10 月考季官方文件未含进阶数学段落（该考季未开放相应单元）。

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2027年1月考季
1月20日 周三 FP2 · Further Pure 2WFM02/01 1h 30m 上午 待考
2027年5–6月考季
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📝 FP2 分类真题 Categorised Past Papers

Edexcel IAL WFM02 (FP2) 2019–2026 共 16 卷 / 133 题（含 01a 区域变体）， 按站点 7 个章节、22 个知识点双语分类。点开任一知识点即可看到对应年份的真题； 每题附「题目 Question」与「详解 Mark Scheme」两个链接，均为所在完整试卷页原版（PDF 整页，不裁剪）。

📊 各章节题量分布 Questions per chapter（以主章节计，共 133 题）
1 · 不等式 Inequalities
16
2 · 数列求和 Series – Method of Differences
16
3 · 复数 Complex Numbers
34
4 · 一阶微分方程 First Order Differential Equations
16
5 · 二阶微分方程 Second Order Differential Equations
16
6 · 麦克劳林级数与泰勒级数 Maclaurin and Taylor Series
19
7 · 极坐标 Polar Coordinates
16

同一知识点可能出现在多个章节之下（各章只列属于该章的题）。

1 · 不等式 Inequalities （16 题）

代数解法 Algebraic methods （16 题）
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2026 Jun 01AQ17题目 Question · 详解 Mark Scheme

2 · 数列求和 Series – Method of Differences （16 题）

方法差 Method of differences （16 题）
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级数求和 Summation of series （16 题）
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代数解法 Algebraic methods （1 题）
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3 · 复数 Complex Numbers （34 题）

模与辐角 Modulus and argument （10 题）
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棣莫弗定理 De Moivre's theorem （16 题）
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复数 n 次方根 nth roots of a complex number （7 题）
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实系数多项式方程的根 Roots of polynomial equations with real coefficients （1 题）
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Argand 图上的轨迹 Loci in the Argand diagram （10 题）
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复平面的变换 Transformations of the complex plane （14 题）
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轨迹与几何 Loci and geometry （3 题）
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4 · 一阶微分方程 First Order Differential Equations （16 题）

分离变量与曲线族 Separation of variables and families of curves （1 题）
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积分因子 Integrating factors （15 题）
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换元法 Substitution methods （8 题）
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5 · 二阶微分方程 Second Order Differential Equations （16 题）

常系数线性方程 Linear equations with constant coefficients （11 题）
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二阶常系数非齐次方程 Inhomogeneous second order linear equations with constant coefficients （16 题）
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换元法 Substitution methods （3 题）
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6 · 麦克劳林级数与泰勒级数 Maclaurin and Taylor Series （19 题）

标准级数 Standard series （9 题）
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复合函数的级数展开 Series expansions of composite functions （7 题）
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泰勒级数 Taylor series （9 题）
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7 · 极坐标 Polar Coordinates （16 题）

曲线草图 Curve sketching （1 题）
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常见曲线 Standard curves （3 题）
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用极坐标求面积 Area using polar coordinates （16 题）
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与初始线平行和垂直的切线 Tangents parallel and perpendicular to the initial line （9 题）
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2021 JunQ310题目 Question · 详解 Mark Scheme
2022 JunQ613题目 Question · 详解 Mark Scheme
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同一次考试可能有多个版本（如 Unit 1 与 Unit 1A），另有少量“(Unused)”备用卷，以表中实际列为准。

📄 Further Pure 2（WFM02）· 历年真题与评分材料

考季试卷 QP评分表 MS详解 MA考官报告 ER
June 2020QP PMTMS PMT––
January 2021QP PMTMS PMT––
June 2021QP PMTMS PMT––
October 2021QP PMTMS––
January 2022QPMS PMT––
June 2022QPMS–ER
January 2023QPMS–ER
June 2023QPMS–ER
January 2024QPMS–ER
June 2024QPMS–ER
January 2025QPMS–ER
June 2025QPMS–ER

本单元索引页：PMT https://www.physicsandmathstutor.com/a-level-maths-papers/edexcel-maths-ial-papers/； Pearson 官方 Mathematics (2018) course materials（需教师账号的考季也在这里登录获取）。

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