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抛物线中隐藏的九九乘法

📖知识讲解8

三角学与恒等式

关于正、余弦乘积的几类常见定积分：华莱士公式、欧拉积分、n倍角乘积的积分

公众号文章

爱德思IAL FP3 Ch2 Further Coordinate Systems 笔记

公众号文章

1双曲函数Hyperbolic functions

定义与图像Definitions and graphs

sinh x = 12(e^y − e^−y)cosh x = 12(e^y + e^−y)tanh x = sinh xcosh x = e^x − e^−xe^x + e^−x

y = sinh x、y = cosh x 与 y = tanh x 的图像（红色为曲线名称，坐标轴刻度已标出关键值）

由上面的图像，你应该能画出 cosech x、sech x 与 coth x 的图像：

y = cosech x、y = sech x 与 y = coth x 的图像

加法公式、倍角公式等Addition formulae, double angle formulae etc.

标准的三角公式与双曲公式非常相似。

奥斯本法则Osborne’s rule

若三角恒等式涉及两个正弦的乘积，则写出对应的双曲恒等式时要变号。

示例

sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B ⇒ sinh(A + B) = sinh A cosh B + cosh A sinh B 不变号 but cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B ⇒ cosh(A + B) = cosh A cosh B + sinh A sinh B 两个正弦的乘积，故变号 and 1 + tan²A = sec²A ⇒ 1 − tanh²A = sech²A tan²A = sin²Acos²A，两个正弦的乘积，故变号

反双曲函数Inverse hyperbolic functions

图像Graphs

记住 y = f⁻¹(x) 的图像是 y = f(x) 关于 y = x 的镜像。

y = arsinh x、y = arcosh x 与 y = artanh x 的图像（各自与 y = x 关于直线对称）

注意 arcosh x 是这样定义的函数：arcosh x ≥ 0。 ⇒ arcosh x 只有一个值。不过，方程 cosh z = 2 有两个解：+arcosh 2 与 −arcosh 2。

对数形式Logarithmic form

1) y = arsinh x ⇒ sinh y = 12(e^y − e^−y) = x ⇒ e^2y − 2xe^y − 1 = 0 ⇒ e^y = 2x ± 4x² + 42 = x + x² + 1 or x − x² + 1 But e^y > 0 且 x − x² + 1 < 0 ⇒ e^y = x + x² + 1 only ⇒ y = arsinh x = ln(x + x² + 1)

2) y = arcosh x ⇒ cosh y = 12(e^y + e^−y) = x ⇒ e^2y − 2xe^y + 1 = 0 ⇒ e^y = 2x ± 4x² − 42 = x ± x² − 1 both roots are positive ⇒ y = arcosh x = ln(x + x² − 1) or ln(x − x² − 1) 可以证明 ln(x − x² − 1) = −ln(x + x² − 1) ⇒ y = arcosh x = ± ln(x + x² − 1) But arcosh x 是函数，因此只有一个值（取正） ⇒ y = arcosh x = ln(x + x² − 1) (x ≥ 1)

3) Similarly artan x = 12 ln(1 + x1 − x) (|x| < 1)

含双曲函数的方程Equations involving hyperbolic functions

解 6 sinh x − 2 cosh x = 7 也可以用三角里的 R sinh(x − α) 技巧，但用指数形式更容易。

Example: Solve 6 sinh x − 2 cosh x = 7

Solution: 6 sinh x − 2 cosh x = 7

⇒ 6 × 12(e^x − e^−x) − 2 × 12(e^x + e^−x) = 7

⇒ 2e^2x − 7e^x − 4 = 0

⇒ (2e^x + 1)(e^x − 4) = 0

⇒ e^x = − 12(not possible) or 4

⇒ x = ln 4

另一些情况下，用「三角」的解法可能更好。

Example: Solve cosh 2x + 5 sinh x − 4 = 0

Solution: cosh 2x + 5 sinh x − 4 = 0

⇒ 1 + 2 sinh²x + 5 sinh x − 4 = 0 note use of Osborn’s rule

⇒ 2 sinh²x + 5 sinh x − 3 = 0

⇒ (2 sinh x − 1)(sinh x + 3) = 0

⇒ sinh x = 12 or −3

⇒ x = arsinh 0.5 or arsinh (−3)

⇒ x = ln(0.5 + 0.5² + 1) or ln((−3) + (−3)² + 1) using log form of inverse

⇒ x = ln(1 + 52) or ln(10 − 3)

2进阶坐标系Further coordinate systems

椭圆Ellipse

直角坐标方程 Cartesian equation

x²a² + y²b² = 1

参数方程 Parametric equations

x = a cos θ , y = b sin θ

焦点 Foci 为 S (ae, 0) 与 S′ (−ae, 0)。

准线 Directrices 为 x = ± ae。

离心率 Eccentricity e < 1, b² = a²(1 − e²)

椭圆与两条准线 x=±a/e，焦点为 (±ae, 0)

椭圆可以定义为动点 P 的轨迹：点 P 移动时满足 PS = e PN，其中 S 是其中一个焦点，e < 1，N 落在相应的准线上。

绳线作图：椭圆上一点 P 到两个焦点的距离之和恒为 2a

对任一焦点及其对应的准线，上述结论都成立。

⇒ PS = e PN and PS′ = e PN′

⇒ PS + PS′ = e (PN + PN′) = eNN′

⇒ PS + PS′ = e(2ae) = 2a.

这就说明了画椭圆所用的「绳线法」string method 为什么成立。

双曲线Hyperbola

直角坐标方程 Cartesian equation

x²a² − y²b² = 1

参数方程 Parametric equations

x = a cosh θ , y = b sinh θ

(x = a sec θ , y = b tan θ) 也可以

渐近线 Asymptotes xa = ± yb

焦点 Foci 为 S (ae, 0) 与 S′ (−ae, 0)。

准线 Directrices 为 x = ± ae。

离心率 Eccentricity e > 1, b² = a²(e² − 1)

双曲线 x²/a²−y²/b²=1 与两条渐近线 y=±bx/a

双曲线可以定义为动点 P 的轨迹：点 P 移动时满足 PS = e PN，其中 S 是焦点，e > 1，N 落在准线上。

y²c² − x²d² = 1

是焦点在 y 轴上的双曲线，

双曲线的焦点—准线定义：PS = e·PN（e > 1）

焦点在 y 轴上的双曲线 y²/c²−x²/d²=1

抛物线Parabola

直角坐标方程 Cartesian equation

y² = 4ax

参数方程 Parametric equations

x = at², y = 2at

焦点 Focus 为 S (a, 0)。

准线 Directrix 为 x = − a。

抛物线 y²=4ax：焦点 S(a, 0)，准线 x=−a，且 PS = PN（e = 1）

抛物线可以定义为动点 P 的轨迹：点 P 移动时满足 PS = PN，其中 S 是焦点，N 落在准线上，离心率 e = 1。

参数微分Parametric differentiation

由链式法则 the chain rule dydθ = dydx × dxdθ

⇒ dydx = dydθdxdθ or dydx = dydtdxdt 用任意参数都可以。

切线与法线Tangents and normals

现在求切线与法线就很容易了。

Example: Find the equation of the normal to the curve given by the parametric equations x = 5 cos θ , y = 8 sin θ at the point where θ = π3

Solution: When θ = π3 , cos θ = 12 and sin θ = 32

⇒ x = 52, y = 43

and dydx = dydθdxdθ = 8 cos θ−5 sin θ = −853 when θ = π3

⇒ gradient of normal is 538

⇒ equation of normal is y − 43 = 538(x − 52)

⇒ 53 x − 8y + 3932 = 0

有时用普通求导、也就是隐式求导 implicit differentiation，反而会（稍微）更容易一些。

Example: Find the equation of the tangent to xy = 36 , or x = 6t, y = 6t , at the point where t = 3.

Solution: When t = 3 , x = 18 and y = 2.

dydx can be found in two (or more!) ways:

dydx = dydtdxdt = −6t⁻²6

⇒ dydx = −1t² = −19 when t = 3

xy = 36 ⇒ y = 36x

⇒ dydx = −36x²

⇒ dydx = −3618² = −19 , when x = 18

⇒ equation of tangent is y − 2 = −19(x − 18)

⇒ x + 9y − 36 = 0

求轨迹Finding a locus

先用参数（t 或 θ）表示 x、y 坐标，然后消去参数，得到只含 x 与 y 的表达式，它就是轨迹的方程。

Example: The tangent to the ellipse x²9 + y²16 = 1 , at the point P , (3 cos θ, 4 sin θ) , crosses the x-axis at A , and the y-axis at B.

Find an equation for the locus of the mid-point of AB as P moves round the ellipse, or as θ varies.

Solution: dydx = dydθdxdθ = 4 cos θ−3 sin θ

⇒ equation of tangent is y − 4 sin θ = 4 cos θ−3 sin θ(x − 3 cos θ)

⇒ 3y sin θ + 4x cos θ = 12 cos²θ + 12 sin²θ = 12

Tangent crosses x-axis at A when y = 0, ⇒ x = 3cos θ,

and crosses y-axis at B when x = 0, ⇒ y = 4sin θ

⇒ mid-point of AB is (32 cos θ , 42 sin θ) ⇔ (X, Y)

Here X = 32 cos θ and Y = 2sin θ

⇒ cos θ = 32X and sin θ = 2Y

⇒ equation of the locus is 94X² + 4Y² = 1 since cos²θ + sin²θ = 1

or 94x² + 4y² = 1

3微分法Differentiation

双曲函数的导数Derivatives of hyperbolic functions

y = sinh x = 12(e^x − e^−x)

⇒ dydx = 12(e^x + e^−x) = cosh x

and, similarly, d(cosh x)dx = sinh x

Also, y = tanh x = sinh xcosh x

⇒ dydx = cosh x cosh x − sinh x sinh xcosh²x = 1cosh²x = sech²x

用同样的方法，可以求出所有双曲函数的导数。

f(x)	f′(x)
sinh x	cosh x
cosh x	sinh x	all positive
tanh x	sech²x
coth x	− cosech²x
cosech x	− cosech x coth x	all negative
sech x	− sech x tanh x

注意：这些结果与 sin x, cos x, tan x 等的结果相似，但正负号并不总是一致。

负号只在 cosh x 与 sech x 处是“错的”（ = 1cosh x）。

反函数的导数Derivatives of inverse functions

y = arsinh x

⇒ sinh y = x ⇒ cosh y dydx = 1

⇒ dydx = 1cosh y = 11 + sinh²y

⇒ d(arsinh x)dx = 11 + x²

其他反双曲函数的导数可以用同样的方法求得。

也可以用换元积分法求出 f′(x) 那一列的原函数：

f(x)	f′(x)	积分所需换元
arcsin x	11 − x²	1 − sin²u = cos²u ⇒ use x = sin u
arccos x	−11 − x²	1 − cos²u = sin²u ⇒ use x = cos u
arctan x	11 + x²	1 + tan²u = sec²u ⇒ use x = tan u
arsinh x	11 + x²	1 + sinh²u = cosh²u ⇒ use x = sinh u
arcosh x	1x² − 1	cosh²u − 1 = sinh²u ⇒ use x = cosh u
artanh x	11 − x²	1 − tanh²u = sech²u ⇒ use x = tanh u
12ln(1 + x1 − x)	11 − x²	partial fractions, see example below

注意 ∫ 11 − x² dx = 12∫(11 + x + 11 − x) dx = 12ln(1 + x1 − x) + c

掌握链式法则、乘积法则与商法则之后，你应当能够处理种类繁多的函数组合。

4积分法Integration

标准技巧Standard techniques

识别标准函数Recognise a standard function

Examples:

∫ sec x tan x dx = sec x + c

∫ sech x tanh x dx = −sech x + c

用公式改造被积函数Using formulae to change the integrand

Examples:

∫ tan²x dx = ∫(sec²x − 1) dx = tan x − x + c

∫ cos²x dx = 12∫(1 + cos 2x) dx = 12(x + 12sin 2x) + c

∫ sinh²x dx = 12∫(cosh 2x − 1) dx = 12(12sinh 2x − x) + c

反向链式法则Reverse chain rule

注意链式法则的模式：猜一个原函数，再求导定出那个常数。

Example: ∫ cos²x sin x dx‘looks like’ u² dudx so try u³ ⇔ cos³x

d(cos³x)dx = 3cos²x (−sin x) = −3cos²x sin xso divide by −3

⇒∫ cos²x sin x dx = −13cos³x + c

Example: ∫ x²(2x³ − 7)⁴ dx‘looks like’ u⁴ dudx so try u⁵ ⇔ (2x³ − 7)⁵

d(2x³ − 7)⁵dx = 5(2x³ − 7)⁴ × 6x² = 30x²(2x³ − 7)⁴so divide by 30

⇒∫ x²(2x³ − 7)⁴ dx = 130(2x³ − 7)⁵ + c

Example: ∫ sech⁴x tanh x dx

= ∫ sech³x (sech x tanh x) dx‘looks like’ u³ dudx so try u⁴ = sech⁴x

d(sech⁴x)dx = −4 sech³x sech x tanh xso divide by −4

⇒∫ sech⁴x tanh x dx = −14sech⁴x + c

标准代换Standard substitutions

∫ 1a² + b²x² dx	bx = a tan u	当被积函数不带根号时，比用 bx = a sinh u 好
∫ 1a² + b²x² dx	bx = a sinh u	当被积函数带根号时，比用 bx = a tan u 好
∫ 1a² − b²x² dx	bx = a tanh u	或者用部分分式
∫ 1b²x² − a² dx	bx = a cosh u	当带根号时，比用 bx = a sec u 好

更复杂一些的积分，例如

∫ 1px² + qx + r dx 或 ∫ 1px² + qx + r dx

先把平方配出来：p(x + a)² + b，再用上面四种之一类似的代换。

Example: ∫ 14x² − 8x − 5 dx4x² − 8x − 5 = 4(x² − 2x + 1) − 9 = 4(x − 1)² − 9

=∫ 14(x − 1)² − 9 dx

Substitute 2(x − 1) = 3 cosh u ⇒ 2dx = 3 sinh u du

=∫ 19(cosh²u − 1) 3 sinh u2 du

=12∫ du = u + c = 12arcosh (2x − 23) + c

小技巧Nice trick

Example: I = ∫ 1(2x − 3)² + 25 dx

Solution: Substitute u = 2x − 3, ⇒ dx = 12 du

⇒I = ∫ 1u² + 5² 12 du = 12arsinh (u5) + c,using standard formula

=12arsinh (2x − 35) + c

要点提示Important tip

∫ xⁿa² ± x² dx, etc.,

最好用下面的代换：

(i)当 n 为奇数时，取 u (或 u²) = a² ± x²；

or (ii)当 n 为偶数时，取三角函数或双曲函数。

反函数与 ln x 的积分Integration inverse functions and ln x

要积分反三角、反双曲函数以及 ln x，用分部积分，并取 dvdx = 1。

Example: Find ∫ arctan x dx

Solution: I = ∫ arctan x dxtake u = arctan x ⇒ dudx = 11 + x²and dvdx = 1 ⇒ v = x

⇒I = x arctan x − ∫ x × 11 + x² dx

⇒I = ∫ arctan x dx = x arctan x − 12ln (1 + x²) + c

Example: Find ∫ arcosh x dx

Solution: I = ∫ arcosh x dxtake u = arcosh x ⇒ dudx = 1x² − 1and dvdx = 1 ⇒ v = x

⇒I = x arcosh x − ∫ x × 1x² − 1 dx

⇒I = ∫ arcosh x dx = x arcosh x − x² − 1 + c

递推公式Reduction formulae

找递推公式的第一步常常（但不总是）是分部积分（有时要用两次）。下面的例题展示了几种不同的技巧。

Example 1: I_n = ∫ xⁿ e^x dx.

(a)Find a reduction formula,

(b)Find I₀,

(c)Find I₄

Solution:

(a)Integrating by parts

u = xⁿ ⇒ dudx = nxⁿ⁻¹

and dvdx = e^x ⇒ v = e^x

⇒ I_n = xⁿe^x − ∫ nxⁿ⁻¹ e^x dx

⇒ I_n = xⁿe^x − nI_n−1

(b)I₀ = ∫ e^x dx = e^x + c

(c)Using the reduction formula

I₄ = x⁴e^x − 4I₃ = x⁴e^x − 4(x³e^x − 3I₂)

= x⁴e^x − 4x³e^x + 12(x²e^x − 2I₁)

= x⁴e^x − 4x³e^x + 12x²e^x − 24(xe^x − I₀)

= x⁴e^x − 4x³e^x + 12x²e^x − 24xe^x + 24e^x + csince I₀ = e^x + c

Example 2: Find a reduction formula for I_n = ∫ tanⁿx dx.

Solution: I_n = ∫ tanⁿx dx = ∫ tanⁿ⁻²x tan²x dx

⇒ I_n = ∫ tanⁿ⁻²x (sec²x − 1) dx

= ∫ tanⁿ⁻²x sec²x dx − ∫ tanⁿ⁻²x dx

⇒ I_n = 1n − 1 tanⁿ⁻¹x − I_n−2.

Example 3: (i) Find a reduction formula for I_n = ∫π⁄20sinⁿx dx.

(ii)Use the formula to find I₆ = ∫π⁄20sin⁶x dx

Solution: (i) By splitting sinⁿx = sinⁿ⁻¹x sin x, we can differentiate sinⁿ⁻¹x reducing the power, and we can integrate sin x

I_n = ∫π⁄20sinⁿx dx = ∫π⁄20sinⁿ⁻¹x sin x dx

take u = sinⁿ⁻¹x ⇒ dudx = (n − 1) sinⁿ⁻²x cos x

and dvdx = sin x ⇒ v = −cos x

⇒ I_n = [−cos x sinⁿ⁻¹x]π⁄20 − ∫π⁄20−cos x (n − 1) sinⁿ⁻²x cos x dx

= 0 + (n − 1)∫π⁄20cos²x sinⁿ⁻²x dx

= (n − 1)∫π⁄20(1 − sin²x) sinⁿ⁻²x dx

= (n − 1)∫π⁄20sinⁿ⁻²x dx − (n − 1)∫π⁄20sinⁿx dx

⇒ I_n = (n − 1)I_n−2 − (n − 1)I_n

⇒ I_n = n − 1n I_n−2.

(ii)I₆ = 56 I₄ = 56 × 34 I₂ = 56 × 34 × 12 I₀

⇒ I₆ = 516∫π⁄201 dx = 5π32.

Example 4: Find a reduction formula for I_n = ∫ secⁿx dx.

Solution: By splitting secⁿx = secⁿ⁻²x sec²x, we can differentiate secⁿ⁻²x reducing the power, and we can integrate sec²x

I_n = ∫ secⁿx dx = ∫ secⁿ⁻²x sec²x dx

take u = secⁿ⁻²x ⇒ dudx = (n − 2) secⁿ⁻³x sec x tan x

and dvdx = sec²x ⇒ v = tan x

⇒ I_n = secⁿ⁻²x tan x − ∫ tan x (n − 2) secⁿ⁻³x sec x tan x dx

= secⁿ⁻²x tan x − (n − 2)∫ tan²x secⁿ⁻²x dx

= secⁿ⁻²x tan x − (n − 2)∫(sec²x − 1) secⁿ⁻²x dx

= secⁿ⁻²x tan x − (n − 2)I_n + (n − 2)I_n−2

⇒ (n − 1)I_n = secⁿ⁻²x tan x + (n − 2)I_n−2

Example 5: Find a reduction formula for I_n = ∫0−1xⁿ (1 + x)² dx.

Solution: We can differentiate xⁿ reducing the power, and we can integrate (1 + x)²

I_n = ∫0−1xⁿ(1 + x)² dxtake u = xⁿ ⇒ dudx = nxⁿ⁻¹and dvdx = (1 + x)² ⇒ v = 13(1 + x)³

⇒I_n = [xⁿ × 13(1 + x)³]0−1 − ∫0−1nxⁿ⁻¹ × 13 (1 + x)³ dx.

Writing (1 + x)³ = (1 + x)²(1 + x) allows us to write the integral in terms of I_n−1 and I_n.

Many reduction formulae need a fiddle like this – e.g. (1 − x²)³² = (1 − x²)¹²(1 − x²)

⇒I_n = 0 − n3∫0−1xⁿ⁻¹(1 + x)²(1 + x)dx

⇒I_n = − n3∫0−1xⁿ⁻¹(1 + x)² dx − n3∫0−1xⁿ(1 + x)²dx

⇒I_n = − n3 I_n−1 − n3 I_n

⇒n + 33 I_n = − n3 I_n−1

⇒I_n = − nn + 3 I_n−1

Example 6: Find a reduction formula for I_n = ∫π⁄20xⁿ cos x dx

Solution: We can differentiate xⁿ reducing the power, and we can integrate cos x

I_n = ∫π⁄20xⁿ cos x dxtake u = xⁿ ⇒ dudx = nxⁿ⁻¹and dvdx = cos x ⇒ v = sin x

⇒I_n = [xⁿ sin x]π⁄20 − n∫π⁄20sin x × xⁿ⁻¹ dx

Integrating by parts again will change the sin x to cos x, and reduce the power further.

take u = xⁿ⁻¹ ⇒ dudx = (n − 1) xⁿ⁻²and dvdx = sin x ⇒ v = −cos x

⇒I_n = (π2)ⁿ − n{ [xⁿ⁻¹(−cos x)]π⁄20 − ∫π⁄20−cos x × (n − 1)xⁿ⁻² dx }

⇒I_n = (π2)ⁿ − n{ 0 + (n − 1)∫π⁄20xⁿ⁻²cos x dx }

⇒I_n = (π2)ⁿ − n (n − 1)I_n−2

Example 7: Find a reduction formula for I_n = ∫ sin nxsin x dx

Solution: I_n = ∫ sin (n−2)x + 2xsin x dx

=∫ sin (n−2)x cos 2x + cos(n−2)x sin 2xsin x dx

=∫ sin (n−2)x (1 − 2sin²x) + cos(n−2)x × 2 sin x cos xsin x dx

=∫ sin (n−2)xsin x dx + 2∫cos(n−2)x cos x − sin(n−2)x sin x dx

=I_n−2 + 2∫cos(n−1)x dxusing cos(A + B) = cos A cos B − sin A sin B

⇒I_n = I_n−2 + 2n − 1 sin(n−1)x.

弧长Arc length

下面这些公式都能从这一张图推出来。

弧 PQ ≈ 线段 PQ

⇒(δs)² ≈ (δx)² + (δy)²

⇒(δsδx)² ≈ 1 + (δyδx)²

弧长公式的来历：弧 PQ 用弦 PQ 近似，(δs)² ≈ (δx)² + (δy)²

当 δx → 0 时

⇒(dsdx)² = 1 + (dydx)² ⇒ dsdx = 1 + (dydx)²

⇒弧长 arc length = s = ∫ 1 + (dydx)² dx

同理(δsδy)² ≈ (δxδy)² + 1 ⇒ s = ∫ (dxdy)² + 1 dy

以及(δsδt)² ≈ (δxδt)² + (δyδt)²

⇒s = ∫ (dxdt)² + (dydt)² dt 或 s = ∫ ẋ² + ẏ² dt

对于参数方程。

Example 1: Find the length of the curve y = 23x^3⁄2, from the point where x = 3 to the point where x = 8.

Solution: The equation of the curve is in Cartesian form so we use

s = ∫ 1 + (dydx)² dx .

y = 23x^3⁄2 ⇒ dydx = x

⇒s = ∫831 + x dx

= [23(1 + x)^3⁄2]83 = 23 × (9)^3⁄2 − 23 × (4)^3⁄2

⇒s = 1223 .

例 1 的曲线 y = ⅔x^(3/2)：求 x = 3 到 x = 8 之间的弧长

Example 2: Find the length of one arch of the cycloid x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t).

Solution: The curve is given in parametric form so we use s = ∫ ẋ² + ẏ² dt .

x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t)

⇒dxdt = a(1 − cos t), and dydt = a sin t

⇒ẋ² + ẏ² = a²(1 − 2cos t + cos²t + sin²t) = 2a²(1 − cos t)

⇒ẋ² + ẏ² = a2(1 − [1 − 2sin²(t2)]) = 2a sin (t2)

⇒s = ∫2π02a sin (t2) dt

⇒s = [−4a cos (t2)]2π0 = 4a − − 4a = 8a.

例 2 的摆线 x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t)：t 从 0 到 2π 的一段

旋转曲面的面积Area of a surface of revolution

一条曲线绕 x 轴旋转。设从 x = a 到 x = b 的那一段曲面，取曲线上一小段弧 δs，它到 x 轴的距离为 y。

这一小段弧转一圈，得到的形状近似一个半径 y、长为 δs 的圆柱面，面积 ≈ 2π yδs。

旋转曲面：曲线绕 x 轴旋转，取一小段弧 δs，扫出一圈半径 y 的圆环面

⇒总表面积 ≈ b∑a2π yδs

当 δs → 0 时，表面积 A = ∫ba2π y ds。

于是A = ∫ba2π y dsdx dx 或 A = ∫ba2π y dsdt dt

可以取 dsdx = 1 + (dydx)² 或 dsdt = (dxdt)² + (dydt)²，视情况而定，

记住 (δs)² ≈ (δx)² + (δy)²

Example 1: A sphere has radius r. Find the surface area of the sphere between the planes x = a and x = b.

Solution: The Cartesian form is most suitable here.

A = ∫ba2π y dsdx dx

x² + y² = r²

⇒2x + 2ydydx = 0 ⇒ dydx = −xy

anddsdx = 1 + (dydx)²

⇒A = ∫ba2πy1 + x²y² dx = ∫ba2πy² + x² dx

=∫ba2πr dxsince x² + y² = r²

⇒A = [2πrx]ba = 2πr(b − a)since r is constant

Notice that the area of the whole sphere is from a = −r to b = r giving surface area of a sphere is 4πr².

例 1 的球面：x² + y² = r²，取 x = a 到 x = b 之间的带

历史注记Historical note

阿基米德证明：球面的面积等于它外切圆柱的侧面积。

于是球的表面积是

A = 2πrh = 4πr² since h = 2r.

阿基米德的结论：球面面积等于外切圆柱的侧面积 2πrh（h = 2r）

Example 2: The parabola, x = at², y = 2at, between the origin (t = 0) and P (t = 2) is rotated about the x-axis.

Find the surface area of the shape formed.

Solution: The parametric form is suitable here.

A = ∫ba2π y dsdt dt

anddsdt = (dxdt)² + (dydt)²

dxdt = 2at and dydt = 2a

⇒dsdt = (2at)² + (2a)² = 2at² + 1

⇒A = ∫202π 2at × 2at² + 1 dt

= 8πa² × 13[(t² + 1)^3⁄2]20

⇒A = 8πa²3(5^3⁄2 − 1)

例 2 的抛物线 x = at², y = 2at：绕 x 轴旋转，t 从 0 到 2 的一段

5向量Vectors

向量积Vector product

两个向量的向量积（vector product，也叫叉积）定义如下：设 a 与 b 的夹角为 θ，则

a × b = ab sinθ n

向量积：a 与 b 夹角为 θ，n 垂直于两者所在平面（右手螺旋方向）

其中 n 是一个单位向量（长度为 1），同时与 a 和 b 垂直。

n 的方向，就是把右手螺旋从 a 转到 b（转过的角为 θ）时螺旋前进的方向。

交换次序：b × a 的方向与 n 相反（红色箭头）

注意 b × a = ab sinθ(−n)，其中 −n 与 n 方向相反 —— 因为把螺旋从 b 转到 a 时，前进方向也反过来。

于是 b × a = −a × b。

单位向量 i、j、kThe vectors i, j and k

对沿坐标轴方向的单位向量 i、j、k，有

i × j = k, j × k = i, k × i = j,

i × k = −j, j × i = −k, k × j = −i.

右手系坐标轴：j 指向纸外、i 向右、k 向上

向量积的性质Properties

向量积有下列性质。源文左栏是公式、右栏是理由：

a × a = 0	因为 θ = 0
a × b = 0 ⇒ a 与 b 平行	因为 sin θ = 0 ⇒ θ = 0 或 π
或 a 或 b = 0
a × (b + c) = a × b + a × c	想想那根吸管的绝妙演示！
a × b 同时垂直于 a 和 b	由定义直接得到

分量形式Component form

利用上面的关系，可以证明用分量写出的向量积公式：

a × b = a₁a₂a₃ × b₁b₂b₃ = a₂b₃ − a₃b₂−a₁b₃ + a₃b₁a₁b₂ − a₂b₁ = ijka₁a₂a₃b₁b₂b₃

向量积的应用Applications of the vector product

三角形 OAB 的面积 = 12 ab sin θ

⇒ 三角形 OAB 的面积 = 12 |a × b|

三角形 OAB：两边 a、b 与夹角 θ

平行四边形 OADB 的面积是三角形 OAB 面积的两倍

⇒ 平行四边形 OADB 的面积 = |a × b|

平行四边形 OADB：由两个全等三角形拼成，故面积为两倍

Example: A is (−1, 2, 1), B is (2, 3, 0) and C is (3, 4, −2).

Find the area of the triangle ABC.

Solution: The area of the triangle ABC = 12 |AB × AC|

AB = b − a = 31−1 and AC = c − a = 42−3

⇒ AB × AC = ijk31−142−3 = −152

⇒ area ABC = 12 |AB × AC| = 12 1² + 5² + 3² = 12 35

三角形 ABC：由 AB、AC 两边张成

平行六面体的体积Volume of a parallelepiped

在平行六面体中，

底面平行于 b 与 c，

n 是一个垂直于底面的单位向量，

且高 h = h n ，

其中 h = ± a cos φ = ± a · n ，

取 ± 是因为 φ 可能是钝角。

平行六面体：底面由 b、c 张成，高 h 沿 n 方向

底面积 = bc sin θ

⇒ 体积 V = ±h × bc sin θ

⇒ ±V = a cos φ × bc sin θ

a · (b × c) = a · (nb sin θ c) = a · n (bc sin θ)

⇒ a · (b × c) = a cos φ × bc sin θ = ±V

⇒ 平行六面体的体积 = |a · (b × c)|

三重数量积Triple scalar product

|a · (b × c)| = a₁a₂a₃ · b₂c₃ − b₃c₂−b₁c₃ + b₃c₁b₁c₂ − b₂c₁ = a₁(b₂c₃ − b₃c₂) + a₂(−b₁c₃ + b₃c₁) + a₃(b₁c₂ − b₂c₁) = a₁a₂a₃b₁b₂b₃c₁c₂c₃

把行列式展开，可以证明：

a · (b × c) = (a × b) · c 保持 a、b、c 的次序，只把 × 与 · 的位置对调

因此三重数量积也写成 {a, b, c}。

{a, b, c} = a · (b × c) = (a × b) · c

同样可以证明：把 a、b、c 的次序循环轮换，值不变；而交换其中两个，值变号（乘 −1）。

⇒ {a, b, c} = {c, a, b} = {b, c, a} = −{a, c, b} = −{c, b, a} = −{b, a, c}

四面体的体积Volume of a tetrahedron

四面体的体积为

13 底面积 × ℎ

四面体的高与平行六面体相同，但底面积只有它的一半。

四面体 {a, b, c}：与平行六面体同高，底面积为一半

⇒ 四面体的体积 = 16 平行六面体的体积

⇒ 四面体的体积 = 16 |{a, b, c}|

Example: Find the volume of the tetrahedron ABCD,

given that A is (1, 0, 2), B is (−1, 2, 2), C is (1, 1, −3) and D is (4, 0, 3).

Solution: Volume = 16 |{AD, AC, AB}|

AD = d − a = 301, AC = 01−5, AB = −220

⇒ {AD, AC, AB} = 30101−5−220 = 3 × 10 + 2 = 32

⇒ volume of tetrahedron is 16 × 32 = 513

直线方程Equations of straight lines

直线的向量方程Vector equation of a line

r = a + λb 是过点 A、且平行于向量 b 的直线方程；

也可以写成 xyz = lmn + λ αβγ

过点 A 且平行于 b 的直线 l：位置向量 r，方向向量 b

三维空间中直线的直角坐标方程Cartesian equation of a line in 3-D

从上面的方程中消去 λ，得到

x − lα = y − mβ = z − nγ (= λ)

这就是过点 (l, m, n)、且平行于向量 αβγ 的直线方程。

这种“奇怪”的形式，其实是下面两个平面的交线：

x − lα y − mβ = 和 y − mβ z − nγ = （以及 x − lα = z − nγ）

直线的向量积方程Vector product equation of a line

AP = r − a，且平行于向量 b。

⇒ AP × b = 0

⇒ (r − a) × b = 0 就是过 A 且平行于 b 的直线方程。

或者写成

r × b = a × b = c 就是平行于 b 的直线方程。

向量积式直线方程：AP 与 b 平行 ⇒ AP × b = 0

注意：这三种形式的方程，指的都是过点 A 且平行于向量 b 的同一条直线。

Example: A straight line has Cartesian equation

x = 2y+45 = 3−z2 .

Find its equation (i) in the form r = a + λb, (ii) in the form r × b = c .

Solution:

First re-write the equation in the standard manner

⇒ x − 01 = y − −22.5 = z − 3−2

⇒ the line passes through A, (0, −2, 3), and is parallel to b, 12.5−2 or 25−4

(i) r = 0−23 + λ 25−4

(ii) (r − 0−23) × 25−4 = 0

⇒ r × 12.5−2 = 0−23 × 25−4 = ijk0−2325−4 = −764

⇒ r × 25−4 = −764

平面的方程Equation of a plane

标量积形式Scalar product form

设 n 是垂直于平面 π 的向量。

设 A 是平面上的一个定点，P 是平面上的任意一点 (x, y, z)。

那么 AP 平行于平面，因而垂直于 n。

⇒ AP · n = 0 ⇒ (r − a) · n = 0 ⇒ r · n = a · n = 常数 d

⇒ r · n = d 这就是垂直于向量 n 的平面方程。

平面 π：法向量 n，平面上定点 A，任意点 P 的位置向量 r

直角坐标形式Cartesian form

若 n = abc 则 r · n = xyz · abc = ax + by + cz

⇒ ax + by + cz = d 这就是垂直于 abc 的平面的直角坐标方程。

Example: Find the scalar product form and the Cartesian equation of the plane through the

points A, (3, 2, 5), B, (−1, 0, 3) and C, (2, 1, −2).

Solution: We first need a vector perpendicular to the plane.

A, (3, 2, 5), B, (−1, 0, 3) and C, (2, 1, −2) lie in the plane

⇒ AB = −4−2−2 and AC = −1−1−7 are parallel to the plane

⇒ AB × AC is perpendicular to the plane

AB × AC = ijk−4−2−2−1−1−7 = 12−262 = 2 × 6−131 换成更小的数

⇒ 6x − 13y + z = d

but A, (3, 2, 5) lies in the plane ⇒ d = 6 × 3 − 13 × 2 + 5 = −3

⇒ Cartesian equation is 6x − 13y + z = −3

and scalar product equation is r · 6−131 = −3.

平面的向量方程Vector equation of a plane

r = a + λb + μc 是平面 π 的方程：过点 A，且平行于向量 b 与 c。

平面 π：过 A 点，由方向向量 b、c 张成

Example: Find the vector equation of the plane through the points A, (1, 4, −2), B, (1, 5, 3)

and C, (4, 7, 2).

Solution: We want the plane through A, (1, 4, −2), parallel to AB = 015 and AC = 334

⇒ vector equation is r = 14−2 + λ015 + μ334.

点到平面的距离Distance from a point to a plane

Example: Find the distance from the point P (−2, 3, 5) to

the plane 4x − 3y + 12z = 21.

Solution: Let M be the foot of the perpendicular from P

to the plane. The distance of the origin from the plane is

PM.

We must first find the intersection of the line PM with

the plane.

PM is perpendicular to the plane

and so is parallel to n = 4−312.

⇒ the line PM is r = −235 + λ 4−312 = −2 + 4λ3 − 3λ5 + 12λ,

and the point of intersection of PM with the plane is given by

4(−2 + 4λ) − 3(3 − 3λ) + 12 (5 + 12λ) = 21

⇒ −8 + 16λ − 9 + 9λ + 60 + 144λ = 21

⇒ λ = −22169

⇒ PM = −22169 4−312

⇒ distance = |PM| = 22169 4² + 3² + 12² = 2213

The distance of the P from the plane is 2213 .

点到平面的距离：自 P 向平面作垂线，垂足为 M，沿法向量 n 方向

任意一点到平面的距离Distance from any point to a plane

用上面的方法可以推出公式：

点 P (α, β, γ) 到平面 n₁x + n₂y + n₃z + d = 0 的距离 s 由下式给出：

s = n₁α + n₂β + n₃γ + dn₁² + n₂² + n₃²

公式的图示：P(α, β, γ) 到平面 n₁x + n₂y + n₃z + d = 0

这个公式在考试用的公式册里有，但课本里没有。

点关于平面的反射Reflection of a point in a plane

Example: Find the reflection of the point A (10, 1, 7) in the plane π, r · 3−21 = 7.

Solution: Find the point of intersection, P, of the line through A and perpendicular to π with

the plane π. Then find AP, to give OA′ = OA + 2AP .

Line through A perpendicular to π is

r = 1017 + λ 3−21

This meets the plane π when

3(10+3λ) − 2(1−2λ) + (7+λ) = 7

⇒ 30 + 9λ − 2 + 4λ + 7 + λ = 7

⇒ λ = −2

⇒ OP = 1017 + (−2) 3−21

⇒ AP = OP − OA = (−2) 3−21 = −64−2

⇒ OA′ = OA + 2AP = 1017 + 2 −64−2 = −293

⇒ the reflection of A is A′, (−2, 9, 3)

关于平面的反射：A 与 A′ 关于平面 π 对称，P 为垂足

两平行平面间的距离Distance between parallel planes

Example: Find the distance between the parallel planes

π₁: 2x − 6y + 3z = 9 and π₂: 2x − 6y + 3z = 5

Solution: Take any point, P, on one of the planes, and

then use the above formula for the shortest distance,

PQ, between the planes.

By inspection the point P (0, 0, 3) lies on π₁

⇒ shortest distance s from P to the plane π₂ is n₁α + n₂β + n₃γ + dn₁² + n₂² + n₃²

⇒ shortest distance s = 2×0 − 6×0 + 3×3 − 52² + 6² + 3² = 47

The distance between the planes is 47 .

两平行平面 π₁、π₂：沿公垂线取 P、Q 两点

点到直线的最短距离Shortest distance from a point to a line

Example: Find the shortest distance from the point

P (3, −2, 4) to the line l, r = −230 + λ 2−36

Solution: Any plane 2x − 3y + 6z = d must be

perpendicular to the line l. If we make this plane pass

through P and if it meets the line l in the point X,

then PX must be perpendicular to the line l, and so

PX is the shortest distance from P to the line l.

Plane passes through P (3, −2, 4)

⇒ 2x − 3y + 6z = 2 × 3 − 3 × (−2) + 6 × 4 = 36

⇒ 2x − 3y + 6z = 36

l meets plane ⇒ 2(−2+ 2λ) − 3(3 − 3λ) + 6(6λ) = 36

⇒ −4 +4λ − 9 + 9λ + 36λ = 36 ⇒ λ = 1

⇒ X is the point (−2, 0, 6)

PX = 006 − 3−24 = −322

⇒ shortest distance is PX = 3² + 2² + 2² = 17

点到直线的最短距离：由 P 向直线 l 作垂线，垂足 X

投影法Projections – an alternative approach

设想有一盏灯泡，把一根杆 AB 投影到直线 l 上，形成影子 A′B′。如果灯泡离得足够远，可以认为所有光线互相平行；而若这些光线都与 l 垂直，那么影子就是杆在 l 上的投影（严格说是正交投影）。

投影：杆 AB 在直线 l 上的影子 A′B′；n 是与 l 平行的单位向量

影子的长度 B′A′ 等于

|BA cos θ| = |BA · n|

其中 n 是与直线 l 平行的单位向量。

之所以要加绝对值符号，是因为 n 的方向可能正好相反。

点到平面的最短距离Shortest distance from a point to a plane

要求 AM，即点 A 到平面 π 的最短距离：

对平面 π 上任意一点 B，AM 就是 AB 在直线 AM 上的投影，因此

⇒ AM = |AB · n|

用投影求点到平面的距离：AB 沿 n 方向的投影就是 AM

Example: Find the shortest distance from the point A (−2, 3, 5) to

the plane 4x − 3y + 12z = 21.

Solution: By inspection B (0, −7, 0) lies on the plane

⇒ AB = 0−70 − −235 = 2−10−5

n = 4−312 ⇒ n = 4² + 3² + 12² = 13

⇒ shortest distance = |AB · n| = 2−10−5 · 1134−312 = 2213

平行平面间的距离（投影法）Distance between parallel planes

Example: Find the distance between the parallel planes

π₁: 2x − 6y + 3z = 9 and π₂: 2x − 6y + 3z = 5

Solution: Take any point, B, on one of the planes, π₂, and then

consider the line BX perpendicular to both planes; BX is then

the shortest distance between the planes.

Then choose any point, A, on π₁, and BX is now the

projection of AB onto BX

⇒ shortest distance = BX = |AB · n|

or shortest distance = |(b − a) · n|, for any two points A and B, one on each plane, where

n is a unit vector perpendicular to both planes.

By inspection the point A (0, 0, 3) lies on π₁,

and the point B (2·5, 0, 0) lies on π₂

AB = 003 − 2·500 = −2·503

n = 2−63 ⇒ n = 2² + 6² + 3² = 7

⇒ shortest distance = −2·503 · 172−63 = 47

投影法求两平行平面的距离：过 B 作公垂线 BX，BX 等于 AB 在 BX 上的投影

异面直线间的最短距离Shortest distance between two skew lines

可以证明：连接两条异面直线、且同时垂直于两者的直线一定存在。

这条直线就是 XY，它就是两直线之间的最短距离。

向量 n = b × d 同时垂直于两条直线，因此单位向量为

⇒ n = b × d|b × d|

现在设想两个平行平面 π₁ 与 π₂，两者都垂直于 n，其中一条含直线 l₁、另一条含直线 l₂。

A 与 C 分别是 l₁ 与 l₂ 上的点，因此也分别在 π₁ 与 π₂ 上。

于是问题变成了两个平行平面，各取一点 A、C，且两平面都垂直于 n。

与「两平行平面间的距离」一例的做法相同，最短距离为

d = |AC · n|

⇒ d = (c − a) · b × d|b × d|

这个结果不在公式册里，必须记住。

两条异面直线 l₁、l₂：公垂线段 XY 同时垂直于两者，XY 为其最短距离

点到直线的最短距离（投影法）Shortest distance from a point to a line

求点 P 到直线 l（r = a + λb）的最短距离时，我们并不知道 n ——也就是过 P 且垂直于 l 的那条直线的方向。

这里需要一点「侧向思维」。

我们知道的是直线上的一点 A，以及直线的方向 b，于是

⇒ |AP · b| = AX，即 AP 在 l 上的投影

再由勾股定理即可求出 PX = AP² − AX²。

Example: Find the shortest distance from the point P (3, −2, 4)

to the line l, r = −230 + λ 2−36

Solution: If l is r = a + λb, then a = −230 and b = 2−36

⇒ b = 2² + 3² + 6² = 7, ⇒ b = 172−36

and AP = 3−24 − −230 = 5−54

⇒ AX = |AP · b| = 5−54 · 172−36 = 10 + 15 + 247 = 7

⇒ PX = AP² − AX² = (5² + 5² + 4² − 7²)

= 17

点到直线的最短距离（投影法）：先求 AP 在 l 上的投影 AX，再用勾股定理求 PX

两平面的交线Line of intersection of two planes

Example: Find an equation for the line of intersection of the planes

x + y + 2z = 4 I

and 2x − y + 3z = 4 II

Solution: Eliminate one variable –

I + II ⇒ 3x + 5z = 8

We are not expecting a unique solution, so put one variable, z say, equal to λ and find

the other variables in terms of λ.

z = λ ⇒ x = 8 − 5λ3

I ⇒ y = 4 − x − 2z = 4 − 8 − 5λ3 − 2λ = 4 − λ3

⇒ xyz = 83430 + λ −53−131

or xyz = 83430 + λ −5−13 making the numbers nicer in the direction vector only

which is the equation of a line through (83, 43, 0) and parallel to −5−13.

直线与平面的夹角Angle between line and plane

设直线与平面所成的锐角为 φ。

先求直线与法向量之间的夹角 θ。

这时有两种可能 —— 如下图所示：

（i） n 与角 φ 在平面的同一侧，此时

⇒ φ = 90 − θ

（ii） n 与角 φ 在平面的两侧，此时

⇒ φ = θ − 90

Example: Find the angle between the line x + 12 = y − 21 = z − 3−2

and the plane 2x + 3y − 7z = 5.

Solution: The line is parallel to 21−2, and the normal vector to the plane is 23−7.

a · b = ab cos θ ⇒ 21 = 2² + 1² + 2² 2² + 3² + 7² cos θ

⇒ cos θ = 762 ⇒ θ = 27.3°

⇒ the angle between the line and the plane, φ = 90 − 27.3 = 62.7°

两平面的夹角Angle between two planes

如果把两个平面「正对着」看，就能看到：两平面之间的夹角 θ，等于它们法向量之间的夹角。

两平面的夹角：正对着看时，平面 1 与平面 2 的夹角 θ 等于法向量 n₁ 与 n₂ 的夹角

Example: Find the angle between the planes

2x + y + 3z = 5 and 2x + 3y + z = 7

Solution: The normal vectors are 213 and 231

a · b = ab cos θ ⇒ 10 = 2² + 1² + 3² × 2² + 1² + 3² cos θ

⇒ cos θ = 1014 ⇒ θ = 44.4°

6矩阵Matrices

基本定义Basic definitions

矩阵的维数Dimension of a matrix

一个有 r 行、c 列的矩阵，其维数 dimension 为 r × c。

转置与对称矩阵Transpose and symmetric matrices

把矩阵 A 的转置 transpose 行与列互换，就得到它的转置 —：

A = abcdefghi ⇒ A^T = adgbehcfi

(AB)^T = B^TA^T - 注意 A 与 B 的次序换了

如果矩阵 S 的元素关于主对角线 leading diagonal 对称，即 S = S^T，则称 S 为对称 symmetric 矩阵。

于是 S = abcbdecef 就是一个对称矩阵。

单位矩阵与零矩阵Identity and zero matrices

单位矩阵 identity matrix I = 100010001，零矩阵 zero matrix 0 = 000000000。

3 × 3 矩阵的行列式Determinant of a 3 × 3 matrix

3 × 3 矩阵 A 的行列式 determinant 为

det (A) = Δ = abcdefghi = aefhi − bdfgi + cdegh

⇒ Δ = aei − afh − bdi + bfg + cdh − ceg

行列式的性质Properties of the determinant

1) 行列式可以按任意一行或任意一列展开，只需配上符号矩阵 sign matrix +−+−+−+−+

e.g Δ = abcdefghi = −dbchi + eacgi − fabgh 按中间一行展开，值不变

2) 交换两行会改变行列式的符号 sign。把两个行列式都算出来即可验证

abcdefghi = − defabcghi

3) 有两行（或两列）完全相同的行列式，其值为 0。交换这两行得 Δ = −Δ，于是 Δ = 0

Δ = abcabcghi

4) det(AB) = det(A) × det(B) 把矩阵乘开即可验证

奇异矩阵与非奇异矩阵Singular and non-singular matrices

若 det(A) = 0，则称矩阵 A 为奇异 singular 矩阵。

若 det(A) ≠ 0，则称矩阵 A 为非奇异 non-singular 矩阵。

3 × 3 矩阵的逆Inverse of a 3 × 3 matrix

这个过程很繁琐，但只要够仔细，就没有理由出错。

余子式Cofactors

在 abcdefghi 中，a, b, c 等的余子式 cofactor 分别是 A, B, C 等，其中

A = +efhi B = −dfgi C = +degh

D = −bchi E = +acgi F = −abgh

G = +bcef H = −acdf I = +abde

这些就是求行列式时用到的那些 2 × 2 矩阵，再配上符号矩阵 +−+−+−+−+ 给出的正负号（按中间一行展开，值不变）。

求逆矩阵Finding the inverse

1) 先求行列式 det(A)。

若 det(A) = 0，则 A 奇异，没有逆矩阵。

2) 写出余子式 cofactor 矩阵 C = ABCDEFGHI

3) 求 C 的转置：C^T = ADGBEHCFI

4) 用 det(A) 去除 C^T，得 A⁻¹ = 1det (A)ADGBEHCFI

见第 148 页例 10。

逆矩阵的性质Properties of the inverse

1) A⁻¹A = A⁻¹ = I

2) (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ - 注意 A 与 B 的次序换了

证明 (AB)⁻¹AB = I 由逆矩阵的定义

⇒ (AB)⁻¹ AB (B⁻¹A⁻¹) = I (B⁻¹A⁻¹) ⇒ (AB)⁻¹ A (BB⁻¹)A⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ⇒ (AB)⁻¹ A I A⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ⇒ (AB)⁻¹ AA⁻¹ = B⁻¹A⁻¹ ⇒ (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹

3) det(A⁻¹) = 1det (A)

矩阵与线性变换Matrices and linear transformations

线性变换Linear transformations

若对一组向量中的任意向量都满足下面两条，则 T 是该集合上的线性变换 linear transformation：

(i) T (x₁ + x₂) = T (x₁) + T (x₂) 对所有向量 x 与 y

(ii) T (kx) = kT (x) 对所有向量 x

Example:Show that T xyz = 2xx+ y−z is a linear transformation.

Solution:

(i) T (x₁ + x₂) = T ((x₁y₁z₁ + x₂y₂z₂)) = T ((x₁ + x₂y₁ + y₂z₁ + z₂))

= 2(x₁ + x₂)x₁ + x₂ + y₁ + y₂−z₁ −z₂ = 2x₁x₁+y₁−z₁ + 2x₂x₂+y₂−z₂ = T (x₁) + T (x₂)

⇒ T (x₁ + x₂) = T (x₁) + T (x₂)

(ii) T (kx) = T (kxyz) = T (kxkykz) = 2kxkx+ ky−kz = k 2x₁x₁+y₁−z₁ = kT (x)

⇒ T (kx) = kT (x)

Both (i) and (ii) are satisfied, and so T is a linear transformation.

所有矩阵都可以表示线性变换。

基向量 i, j, kBase vectors

i = 100, j = 010, k = 001

在矩阵 abcdefghi 所表示的变换下

100 → adg 矩阵的第一列

010 → beh 矩阵的第二列

001 → cfi 矩阵的第三列

这是一个重要的结果：它让我们可以由给定的变换反过来求出对应的矩阵。

Example:Find the matrix for a reflection in the plane y = x

Solution:The z-axis lies in the plane y = x so 001 → 001

⇒ the third column of the matrix is 001

Also 100 → 010 ⇒ the first column of the matrix is 010

010 → 100 ⇒ the second column of the matrix is 100

⇒ the matrix for a reflection in y = x is 010100001.

Example:Find the matrix of the linear transformation, T, which maps (1, 0, 0) → (3, 4, 2),

(1, 1, 0) → (6, 1, 5) and (2, 1, −4) → (1, 1, −1).

Solution:

Firstly 100 → 342 ⇒ first column is 342

Secondly 110 → 615 but 110 = 100 + 010 → 342 + T010

⇒ T010 = 615 − 342 = 3−33 ⇒ second column is 3−33

Thirdly 21−4 → 11−1

but 21−4 = 2100 + 010 − 4001 → 2342 + 3−33 − 4T001

⇒ 2342 + 3−33 − 4T001 = 11−1

⇒ T001 = 212 ⇒ third column is 212

⇒ T = 3324−31232.

直线的像Image of a line

Example:Find the image of the line r = 20−3 + λ3−21 under T,

where T = 3−211342−11.

Solution:As T is a linear transformation, we can find

T (r) = T ((20−3 + λ3−21)) = T 20−3 + λT3−21

⇒ T (r) = 3−211342−1120−3 + λ3−211342−113−21

⇒ T (r) = 3−101 + λ1419

and so a vector equation of the new line is

r = 3−101 + λ1419.

平面的像（一）Image of a plane 1

类似地，平面 r = a + λb + μc 在线性变换 T 下的像 image 为

T (r) = T (a + λb + μc) = T (a) + λ T(b) + μ T (c).

要求形如 ax + by + cz = d 的平面的像，先把它写成向量方程。

方法一Method 1

Example 1:Find the image of the plane 3x − 2y + 4z = 6 under a linear transformation, T.

Solution:First construct a vector equation,

(i) Put x = z = 0 ⇒ y = −3 ⇒ (0, −3, 0) is a point on the plane

(ii) To find vectors parallel to the plane, they must be perpendicular to n = 3−24. By inspection, using the top two coordinates, 230, and, using the bottom two coordinates, 042 or 021 must be ⊥ to n (look at the scalar products), and so are parallel to the plane.

平面的像（二）Image of a plane 2

⇒ The vector equation of the plane is r = 0−30 + λ230 + μ021

⇒ The image under the matrix M is Mr = M0−30 + λM230 + μ M021

Example 2:Find the image of the plane r . 2−50 = 8 under a linear transformation T.

Solution:The equation can be written as 2x − 5y = 8

(i) Put y = 0 ⇒ x = 4 ⇒ (4, 0, 0) is a point on the plane z could be anything

(ii) To find vectors parallel to the plane, they must be perpendicular to n = 2−50. By inspection, using the top two coordinates, 520, and, using the 0 z-coordinate, 001 must be ⊥ to n (look at the scalar products), and so are parallel to the plane.

Continue as in Example 1.

方法二（书中写法）Method 2, as in the book

只要向量 n 没有零分量就没问题；一旦出现零分量，事情就会麻烦一些。

Example:Find the image of the plane 3x − 2y + 4z = 6 under a linear transformation, T.

Solution:To construct a vector equation, put x = λ, y = μ, and find z in terms of λ and μ.

⇒ 3λ − 2μ + 4z = 6 ⇒ z = 6−3λ+2μ4

xyz = λμ6−3λ+2μ4 = 006⁄4 + λ10−3⁄4 + μ011⁄2

xyz = 006⁄4 + λ40−3 + μ021 making the numbers nicer in the ‘parallel’ vectors

and now continue as in method 1.

注意 M (b × c) 并不等于 M (b) × M (c)，因为它不满足线性变换的条件，所以必须用上面两种方法之一。

7特征值与特征向量Eigenvalues and eigenvectors

定义Definitions

1) 特征向量 eigenvector（线性变换 T 的特征向量）是这样的一个非零向量：它的方向 direction 经 T 作用后不变。

于是，若 e 是 T 的一个特征向量，则它的像 e′ 与 e 平行，即 e′ = λe。

⇒ e′ = T(e) = λe.

e 确定了一条映射到自身的直线，因此整条直线不变 invariant as a whole line。

若 λ = 1，则直线上每一点都停在原处，我们得到一条不变点直线 line of invariant points。

2) 矩阵 A 的特征方程 characteristic equation（特征方程）是 det(A − λI) = 0

Ae = λe

⇒ (A − λI)e = 0 has non-zero solutions eigenvectors are non-zero ⇒ A − λI is a singular matrix ⇒ det(A − λI) = 0

⇒ the solutions of the characteristic equation are the eigenvalues.

2 × 2 矩阵2 × 2 matrices

Example: Find the eigenvalues and eigenvectors for the transformation with matrix

A = 11−24.

Solution: The characteristic equation is det(A − λI) = 0

⇒ 1 − λ1−24 − λ = 0

⇒ (1 − λ)(4 − λ) + 2 = 0

⇒ λ² − 5λ + 6 = 0 ⇒ λ₁ = 2 and λ₂ = 3

For λ₁ = 2

11−24xy = 2xy

⇒ x + y = 2x ⇒ x = y and −2x + 4y = 2y ⇒ x = y

⇒ eigenvector e₁ = 11 we could use 3⋅73⋅7, but why make things nasty

正交矩阵Orthogonal matrices

For λ₂ = 3

11−24xy = 3xy

⇒ x + y = 3x ⇒ 2x = y and −2x + 4y = 3y ⇒ 2x = y

⇒ eigenvector e₂ = 12 choosing easy numbers.

归一化特征向量Normalised eigenvectors

归一化特征向量 normalised eigenvector 是长度为 1 的特征向量。

In the above example, the normalized eigenvectors are e₁ = 1212, and e₂ = 1525.

正交向量Orthogonal vectors

「垂直」的雅致说法：数量积 scalar product 为零。

正交矩阵Orthogonal matrices

若矩阵的各列构成向量满足

(i) 两两正交 mutually orthogonal（或垂直）

(ii) 长度均为 1

则称该矩阵为正交 orthogonal 矩阵。

Example:

1525 and −2515 are both unit vectors, and

1525·−2515 = −25 + 25 = 0, ⇒ the vectors are orthogonal

⇒ M = 15−252515 is an orthogonal matrix

注意

M^TM = 1525−251515−252515 = 1001.

因此 正交矩阵的转置就是它的逆

这对所有正交矩阵都成立 think of any set of perpendicular unit vectors

正交矩阵的另一个定义是

M is orthogonal ⇔ M^TM = I ⇔ M⁻¹ = M^T

对角化 2 × 2 矩阵Diagonalising a 2 × 2 matrix

设 A 是特征值为 λ₁、λ₂ 的 2 × 2 矩阵，

特征向量为 e₁ = u₁v₁ 和 e₂ = u₂v₂

则 A e₁ = u₁v₁ = λ₁u₁λ₁v₁ 且 A e₂ = u₂v₂ = λ₂u₂λ₂v₂

⇒ A u₁u₂v₁v₂ = λ₁u₁λ₂u₂λ₁v₁λ₂v₂ = u₁u₂v₁v₂λ₁00λ₂ ........... I

定义 P 为以 A 的特征向量为各列的矩阵，D 为以 A 的特征值为对角元的对角矩阵

I ⇒ P = u₁u₂v₁v₂ and D = λ₁00λ₂

⇒ AP = PD ⇒ P⁻¹AP = D

以上是对角化任意矩阵 diagonalising any matrix 的一般情形。

本课程中我们只讨论对称矩阵的对角化。

对角化 2 × 2 对称矩阵Diagonalising 2 × 2 symmetric matrices

对称矩阵的特征向量Eigenvectors of symmetric matrices

预备结论 Preliminary result 先看一个预备结论：

x = x₁x₂ and y = y₁y₂

数量积 x · y = x₁x₂·y₁y₂ = x₁y₁ + x₂y₂

而 (x₁ x₂)y₁y₂ = x₁y₁ + x₂y₂

⇒ x^Ty = x · y

这个结论让我们可以用矩阵乘法来计算数量积。

定理 Theorem: 对称矩阵的、属于不同特征值的特征向量互相正交。

证明 Proof: 设 A 是对称矩阵，则 A^T = A

Let A e₁ = λ₁ e₁ , and A e₂ = λ₂ e₂ , λ₁ ≠ λ₂,

λ₁ e₁^T = (λ₁ e₁)^T = (A e₁)^T = e₁^TA^T = e₁^TA since A^T = A, and (AB)^T = B^TA^T

⇒ λ₁ e₁^T = e₁^TA

⇒ λ₁ e₁^Te₂ = e₁^T A e₂ = e₁^Tλ₂ e₂ = λ₂ e₁^Te₂

⇒ λ₁ e₁^Te₂ = λ₂ e₁^Te₂

⇒ (λ₁ − λ₂) e₁^Te₂ = 0

But λ₁ − λ₂ ≠ 0 ⇒ e₁^Te₂ = 0 ⇔ e₁ · e₂ = 0

⇒ the eigenvectors are orthogonal or perpendicular

对角化对称矩阵Diagonalising a symmetric matrix

上述定理让对称矩阵 A 的对角化变得容易。

1) 求出特征值 λ₁、λ₂ 与特征向量 e₁、e₂

2) 把特征向量归一化 normalise，得到 ê₁ 和 ê₂

3) 写出以 ê₁、ê₂ 为各列的矩阵 P

由于 ê₁ 与 ê₂ 正交，P 现在是正交矩阵

⇒ P⁻¹ = P^T

4) P^TAP 就是对角矩阵 D = λ₁00λ₂.

Example: Diagonalise the symmetric matrix A = 6−2−29.

Solution: The characteristic equation is 6 − λ−2−29 − λ = 0

⇒ (6 − λ)(9 − λ) − 4 = 0

⇒ λ² − 15λ + 50 = 0 ⇒ (λ − 5)(λ − 10) = 0

⇒ λ = 5 or 10

For λ₁ = 5

6−2−29xy = 5xy

⇒ 6x − 2y = 5x ⇒ x = 2y and −2x + 9y = 5y ⇒ x = 2y

⇒ e₁ = 21

and normalising ⇒ ê₁ = 2515

For λ₂ = 10

6−2−29xy = 10xy

⇒ 6x − 2y = 10x ⇒ −2x = y and −2x + 9y = 10y ⇒ −2x = y

⇒ e₂ = 1−2

and normalising ⇒ ê₂ = 15−25

Notice that the eigenvectors are orthogonal

⇒ P = 251515−25

⇒ D = P^TAP = λ₁00λ₂ = 50010.

3 × 3 矩阵3 × 3 matrices

2 × 2 矩阵的所有结论对 3 × 3 矩阵（乃至 n × n 矩阵）同样成立。

证明要么完全相同，要么只是维数更高时的类似推理。

求 3 × 3 矩阵的特征向量Finding eigenvectors for 3 × 3 matrices.

Example: Given that λ = 5 is an eigenvector of the matrix

M = 3−12−21−14−1−2, find the corresponding eigenvector.

Solution: Consider Me = 5e

⇒ 3−12−21−14−1−2xyz = 5xyz

⇒ 3x − y + 2z = 5x ⇒ −2x − y + 2z = 0I −2x + y − z = 5y ⇒ −2x − 4y − z = 0II 4x − y − 2z = 5z ⇒ 4x − y − 7z = 0III

Now eliminate one variable, say x:

I − II ⇒ 3y + 3z = 0 ⇒ y = −z

We are not expecting to find unique solutions, so put z = 1, and then find x and y.

⇒ y = −1, and,

from I, 2x = 2z − y = 2 + 1 = 3

⇒ x = 1⋅5

⇒ e = 1⋅5−11 or 3−22 as any multiple will also be an eigenvector

check in II and III, O.K.

对角化 3 × 3 对称矩阵Diagonalising 3 × 3 symmetric matrices

Example: A = 2−20−212020.

Find an orthogonal matrix P such that P^TAP is a diagonal matrix.

Solution:

1) Find eigenvalues

The characteristic equation is det(A − λI) = 0

⇒ 2 − λ−20−21 − λ202−λ = 0

⇒ (2 − λ)[−λ(1 − λ) − 4] + 2 × [2λ − 0] + 0 = 0

⇒ λ³ − 3λ² − 6λ + 8 = 0

By inspection λ = −2 is a root ⇒ (λ + 2) is a factor

⇒ (λ + 2)(λ² − 5λ + 4) = 0

⇒ (λ + 2)(λ − 1)(λ − 4) = 0

⇒ λ = −2, 1 or 4.

2) Find normalized eigenvectors

λ₁ = −2 ⇒ 2−20−212020xyz = −2xyz

⇒ 2x − 2y = −2x I −2x + y + 2z = −2y II 2y = −2z III

I ⇒ y = 2x, and III ⇒ y = −z choose x = 1 and find y and z

⇒ e₁ = 12−2 and |e₁| = e₁ = 9 = 3 ⇒ ê₁ = 1323−23

λ₂ = 1 ⇒ 2−20−212020xyz = 1xyz

⇒ 2x − 2y = x I −2x + y + 2z = y II 2y = z III

I ⇒ x = 2y, and II ⇒ z = 2y choose y = 1 and find x and z

⇒ e₂ = 212 and |e₂| = e₂ = 9 = 3 ⇒ ê₂ = 231323

λ₃ = 4 ⇒ 2−20−212020xyz = 4xyz

⇒ 2x − 2y = 4x I −2x + y + 2z = 4y II 2y = 4z III

I ⇒ x = −y, and III ⇒ y = 2z choose z = 1 and find x and y

⇒ e₃ = −221 and |e₃| = e₃ = 9 = 3 ⇒ ê₃ = −232313

3) Find orthogonal matrix, P

⇒ P = (ê₁ ê₂ ê₃)

⇒ P = 1323−23231323−232313 is required orthogonal matrix

4) Find diagonal matrix, D

⇒ P^TAP = D = λ₁000λ₂000λ₃ = −200010004

一道很长的题！不过，虽然考试不会要求你完整地做完一道题，但考官可以把上面每一步都考到！A nice long question! But, although you will not be asked to do a complete problem, the examiners can test every step above!

🎓 成绩等级与 A* 规则

单元成绩由原始分（Raw）换算为统一分（UMS）后合并计算。各等级所需的最低 UMS 分如下：

资格等级	最高 UMS 分	A	B	C	D	E
International AS（合并代码 XMA01、XFM01、XPM01）	300	240	210	180	150	120
International A Level（合并代码 YMA01、YFM01、YPM01）	600	480	420	360	300	240

总 UMS 在 0–119（International AS）或 0–239（International A Level）区间的考生将被评为 Unclassified（U，未分级）。

IAL 数学（Mathematics）：总分达 A（至少 480 / 600），且 P3、P4 两单元合计 UMS 至少 180 / 200，方授予 A*。
IAL 进阶数学（Further Mathematics）：总分达 A（至少 480 / 600），且成绩最好的三个 IA2 单元（纯数或应用单元均可）合计 UMS 至少 270 / 300，方授予 A*。
IAL 纯数学（Pure Mathematics）：总分达 A（至少 480 / 600），且 IA2 单元合计 UMS 至少 270 / 300，方授予 A*。

译自 Pearson Edexcel《International Advanced Level Mathematics / Further Mathematics / Pure Mathematics Specification》（Issue 3, 2019）第 74 页「Qualification results」。

📈 近三次考季分数线（官方文件截图）

每次考季后 Pearson 按当次试卷难度公布各单元的 Raw（原始分）分界；UMS 分界固定不变（AS 单元 a–e 对应 80/70/60/50/40，A2 单元另设 a* = 90）。表中同一单元的两行（如 Unit 1 与 Unit 1A）为同一份试卷的不同版本，Raw 分界不同、UMS 分界相同，具体以考生所考版本为准。

📍 2026年6月考季

📍 2026年1月考季

📍 2025年10月考季

截图来源：qualifications.pearson.com 官方「Grade boundaries — International A Level」文件（2026 年 6 月 / 2026 年 1 月 / 2025 年 10 月考季）。2025 年 10 月考季官方文件未含进阶数学段落（该考季未开放相应单元）。

⏰ 距下一场考试

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--天 --时 --分 --秒

2027年1月考季

1月21日周四 FP3 · Further Pure 3WFM03/01 1h 30m 下午待考

2027年5–6月考季

6月8日周二 FP3 · Further Pure 3WFM03/01 1h 30m 下午待考

📝 FP3 分类真题 Categorised Past Papers

Edexcel IAL WFM03 (FP3) 2019–2026 共 15 卷 / 124 题（含 01a 区域变体），按站点 7 个章节、32 个知识点双语分类。点开任一知识点即可看到对应年份的真题；每题附「题目 Question」与「详解 Mark Scheme」两个链接，均为所在完整试卷页原版（PDF 整页，不裁剪）。

📊 各章节题量分布 Questions per chapter（以主章节计，共 124 题）

1 · 双曲函数 Hyperbolic Functions

2 · 进阶坐标系 Further Coordinate Systems

3 · 微分法 Differentiation

4 · 积分法 Integration

5 · 向量 Vectors

6 · 矩阵 Matrices

7 · 特征值与特征向量 Eigenvalues and Eigenvectors

同一知识点可能出现在多个章节之下（各章只列属于该章的题）。

1 · 双曲函数 Hyperbolic Functions （17 题）

双曲函数求值与恒等式 Hyperbolic identities and evaluation （8 题）

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2019 Jun	Q2	9	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2020 Oct	Q1	7	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2021 Jun	Q1	6	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2022 Jan	Q1	8	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2022 Jun	Q1	7	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2024 Jun	Q4	9	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2025 Jun	Q1	6	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2026 Jan	Q3	8	题目 Question · 详解 Mark Scheme

反双曲函数 Inverse hyperbolic functions （3 题）

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2019 Jun	Q3	7	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2020 Oct	Q2	8	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2022 Jan	Q5	7	题目 Question · 详解 Mark Scheme

反双曲函数的对数形式 Logarithmic forms of inverse hyperbolic functions （7 题）

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双曲方程求解 Solving hyperbolic equations （12 题）

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标准积分 Standard integrals （5 题）

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2 · 进阶坐标系 Further Coordinate Systems （21 题）

椭圆 The ellipse （11 题）

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双曲线 The hyperbola （10 题）

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参数方程 Parametric equations （9 题）

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切线与法线 Tangents and normals （11 题）

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轨迹方程 Finding loci （6 题）

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离心率与焦点 Eccentricity and foci （13 题）

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旋转曲面面积 Area of surface of revolution （1 题）

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3 · 微分法 Differentiation （13 题）

双曲函数的导数 Derivatives of hyperbolic functions （5 题）

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反函数的导数 Derivatives of inverse functions （10 题）

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双曲函数求值与恒等式 Hyperbolic identities and evaluation （1 题）

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2026 Jun	Q3	7	题目 Question · 详解 Mark Scheme

反双曲函数 Inverse hyperbolic functions （3 题）

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2023 Jun	Q8	10	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2026 Jan	Q9	6	题目 Question · 详解 Mark Scheme
2026 Jun 01A	Q2	8	题目 Question · 详解 Mark Scheme

反双曲函数的对数形式 Logarithmic forms of inverse hyperbolic functions （2 题）

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2025 Jun	Q4	5	题目 Question · 详解 Mark Scheme
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4 · 积分法 Integration （35 题）

约化公式 Reduction formulae （14 题）

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弧长 Arc length （8 题）

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旋转曲面面积 Area of surface of revolution （10 题）

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反三角函数积分 Inverse trigonometric integrals （2 题）

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双曲函数求值与恒等式 Hyperbolic identities and evaluation （3 题）

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反双曲函数 Inverse hyperbolic functions （7 题）

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反双曲函数的对数形式 Logarithmic forms of inverse hyperbolic functions （4 题）

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双曲函数的导数 Derivatives of hyperbolic functions （1 题）

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参数微分 Parametric differentiation （8 题）

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5 · 向量 Vectors （15 题）

直线方程 Equation of a line （7 题）

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平面方程 Equation of a plane （14 题）

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直线与平面夹角 Angles between lines and planes （5 题）

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直线与平面相交 Intersection of lines and planes （5 题）

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点到平面距离 Distance from point to plane （8 题）

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向量积与混合积 Vector and scalar triple products （11 题）

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异面直线间距离 Distance between skew lines （1 题）

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平行线间距离 Distance between parallel lines （1 题）

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6 · 矩阵 Matrices （10 题）

矩阵运算 Matrix operations （8 题）

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逆矩阵 Inverse matrices （9 题）

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行列式 Determinants （5 题）

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直线方程 Equation of a line （1 题）

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平面方程 Equation of a plane （1 题）

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向量积与混合积 Vector and scalar triple products （1 题）

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7 · 特征值与特征向量 Eigenvalues and Eigenvectors （13 题）

特征值与特征向量 Eigenvalues and eigenvectors （13 题）

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对角化 Diagonalisation （3 题）

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对称矩阵与正交对角化 Orthogonal diagonalisation of symmetric matrices （5 题）

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直线方程 Equation of a line （3 题）

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向量积与混合积 Vector and scalar triple products （2 题）

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行列式 Determinants （2 题）

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真题版权归 Pearson Edexcel 所有，此处仅作教学练习用途。

同一考季只保留一条链接：QP（试卷）/ MS（评分表）优先用 Pearson 官方直链，官方未公开该考季时才回退到第三方镜像 PMT（physicsandmathstutor.com，链接带 <em>PMT</em> 小标签）；MA（Model Answers 详解）仅 PMT 有，ER（Examiner Report 考官报告）仅官方有。

⚠️ October 2025 / January 2026 / June 2026 三个考季：官方材料已上传但锁在教师账号后（访问跳登录页），第三方也尚未收录——本站不提供这三个考季的链接，需要请登录 Pearson 官方 course materials 页或经所在 centre 获取。

同一次考试可能有多个版本（如 Unit 1 与 Unit 1A），另有少量“(Unused)”备用卷，以表中实际列为准。

📄 Further Pure 3（WFM03）· 历年真题与评分材料

考季	试卷 QP	评分表 MS	详解 MA	考官报告 ER
June 2020	QP PMT	MS PMT	–	–
January 2021	QP PMT	MS PMT	–	–
June 2021	QP PMT	MS PMT	–	–
October 2021	QP	MS PMT	–	ER
January 2022	QP PMT	MS PMT	–	–
June 2022	QP	MS	–	ER
January 2023	QP PMT	MS PMT	–	ER
June 2023	QP	MS	–	ER
January 2024	QP	MS	–	ER
June 2024	QP	MS	–	ER
January 2025	QP	MS	–	ER
June 2025	QP	MS	–	ER

本单元索引页：PMT https://www.physicsandmathstutor.com/a-level-maths-papers/edexcel-maths-ial-papers/； Pearson 官方 Mathematics (2018) course materials（需教师账号的考季也在这里登录获取）。

QP = Question paper 试卷 · MS = Mark scheme 评分表 · MA = Model answers 详解 · ER = Examiner report 考官报告。未带小标签的为 **Pearson 官方**直链；带 PMT 小标签的为第三方镜像（physicsandmathstutor.com）。同一考季同一文档只保留一条链接，官方优先。全部链接 2026-10-15 逐条实测可下载。

FP3 Further Pure 3

1双曲函数Hyperbolic functions

定义与图像Definitions and graphs

加法公式、倍角公式等Addition formulae, double angle formulae etc.

奥斯本法则Osborne’s rule

反双曲函数Inverse hyperbolic functions

图像Graphs

对数形式Logarithmic form

含双曲函数的方程Equations involving hyperbolic functions

2进阶坐标系Further coordinate systems

椭圆Ellipse

双曲线Hyperbola

抛物线Parabola

参数微分Parametric differentiation

切线与法线Tangents and normals

求轨迹Finding a locus

3微分法Differentiation

双曲函数的导数Derivatives of hyperbolic functions

反函数的导数Derivatives of inverse functions

4积分法Integration

标准技巧Standard techniques

识别标准函数Recognise a standard function

用公式改造被积函数Using formulae to change the integrand

反向链式法则Reverse chain rule

标准代换Standard substitutions

小技巧Nice trick

要点提示Important tip

反函数与 ln x 的积分Integration inverse functions and ln x

递推公式Reduction formulae

弧长Arc length

旋转曲面的面积Area of a surface of revolution

历史注记Historical note

5向量Vectors

向量积Vector product

单位向量 i、j、kThe vectors i, j and k

向量积的性质Properties

分量形式Component form

向量积的应用Applications of the vector product

平行六面体的体积Volume of a parallelepiped

三重数量积Triple scalar product

四面体的体积Volume of a tetrahedron

直线方程Equations of straight lines

直线的向量方程Vector equation of a line

三维空间中直线的直角坐标方程Cartesian equation of a line in 3-D

直线的向量积方程Vector product equation of a line

平面的方程Equation of a plane

标量积形式Scalar product form

直角坐标形式Cartesian form

平面的向量方程Vector equation of a plane

点到平面的距离Distance from a point to a plane

任意一点到平面的距离Distance from any point to a plane

点关于平面的反射Reflection of a point in a plane

两平行平面间的距离Distance between parallel planes

点到直线的最短距离Shortest distance from a point to a line

投影法Projections – an alternative approach

点到平面的最短距离Shortest distance from a point to a plane

平行平面间的距离（投影法）Distance between parallel planes

异面直线间的最短距离Shortest distance between two skew lines

点到直线的最短距离（投影法）Shortest distance from a point to a line

两平面的交线Line of intersection of two planes

直线与平面的夹角Angle between line and plane

两平面的夹角Angle between two planes

6矩阵Matrices

基本定义Basic definitions

矩阵的维数Dimension of a matrix

转置与对称矩阵Transpose and symmetric matrices

单位矩阵与零矩阵Identity and zero matrices

3 × 3 矩阵的行列式Determinant of a 3 × 3 matrix

行列式的性质Properties of the determinant

奇异矩阵与非奇异矩阵Singular and non-singular matrices

3 × 3 矩阵的逆Inverse of a 3 × 3 matrix

余子式Cofactors

求逆矩阵Finding the inverse

逆矩阵的性质Properties of the inverse

矩阵与线性变换Matrices and linear transformations

线性变换Linear transformations

基向量 i, j, kBase vectors

直线的像Image of a line

平面的像（一）Image of a plane 1

方法一Method 1